اثبات نابرابری ميانگين حسابي و هندسي برای دو عدد غيرمنفی
فرض کنيد $a$ و $b$ دو عدد غيرمنفی باشند. ميانگين حسابي اين دو عدد عبارت است از: $\frac{a+b}{2}$ و ميانگين هندسي آنها $\sqrt{ab}$ است.
برای اثبات نابرابری ميانگين حسابي و هندسي، بايد نشان دهيم:
اين نابرابری را میتوان به صورت زير اثبات کرد:
- ابتدا نابرابری را به صورت زير بازنویسی میکنيم:
- سپس دو طرف نابرابری را مربع میکنيم:
- با گسترش سمت چپ نابرابری، داريم:
- با سادهسازی، به نابرابری زير میرسيم:
- که میتوان آن را به صورت زير نوشت:
از آنجا که مربع هر عدد حقيقی غيرمنفی است، اين نابرابری همواره صحيح است و بنابراين نابرابری ميانگين حسابي و هندسي برای دو عدد غيرمنفی اثبات میشود.
