اگر $a|b$ و $b|{c^2}$، کدام گزینه درست نیست؟

به‌ازای کدام مقدار a، عدد ۵ رقمی $\overline{bab۴b}$ بر ۷ بخش‌پذیر است؟

چه تعداد از گزاره های زیر با مثال نقض رد می‌شوند؟

الف) مجموع دو عدد گنگ، گنگ است.

ب) حاصل‌ضرب دو عدد گنگ، گنگ است.

ج) حاصل‌ضرب یک عدد گویا در یک عدد گنگ، گنگ است.

د) مجموع یک عدد گنگ و یک عدد گویا، گنگ است.

 برای چه تعداد از گزاره‌های زیر نمی‌توان مثال نقض پیدا کرد؟ 

الف) اگر $a\overset{m}{\equiv } b$ و $n|m$ آن‌گاه $a\overset{n}{\equiv } b$ . 

ب) اگر $a\overset{m}{\equiv } b$ آن‌گاه $a^{n}\overset{m}{\equiv } b^{n}$. $(n\in N)$ 

ج) اگر $a\overset{m}{\equiv }b$ و $b\overset{n}{\equiv }c$ و $(m,n)=d$ آنگاه $a\overset{d}{\equiv } c$ . 

د) اگر n عدد طبیعی و a و b اعداد صحیح باشند، همواره رابطهٔ $(a+b)^{n}\overset{ab}{\equiv } a^{n}+b^{n}$ برقرار است. 

چند گزاره از گزاره‌های زیر درست است و اثبات آن نیز از طریق برهان خلف مناسب‌تر است؟

الف) حاصل جمع دو عدد گنگ، عددی گنگ است.

ب) اگر $a_{۳},a_{۲},a_{۱} $  عددهایی صحیح و $b_{۳},b_{۲},b_{۱} $  هم همان اعداد ولی با ترتیب دیگری باشند، عدد$\left ( a_{۱}-b_{۱} \right )\left ( a_{۲}-b_{۲} \right )\left ( a_{۳}-b_{۳} \right )$  زوج است.

پ) اگر تابع  $f$در $x=a$ پیوسته ولی $g$ در  $x=a$ ناپیوسته باشد، تابع  $f+g$ در $x=a$ ناپیوسته است.

ت) اگر $a$ یک عدد حقیقی مثبت باشد آنگاه  $a+\frac{۱}{a}\geq ۲$  .