اثبات
فرض کنیم عدد گویا را با r و عدد گنگ را با \( \sqrt{2} \) نشان دهیم. میخواهیم ثابت کنیم r + \( \sqrt{2} \) گنگ است.
برهان خلف: فرض کنیم r + \( \sqrt{2} \) گویا است. پس میتوان آن را به صورت کسری با صورت و مخرج صحیح نوشت.
\( r + \sqrt{2} = \frac{m}{n} \)
از طرفی r نیز گویا است و میتوان آن را به صورت \( \frac{a}{b} \) نوشت.
\( \frac{a}{b} + \sqrt{2} = \frac{m}{n} \)
پس \( \sqrt{2} = \frac{m}{n} - \frac{a}{b} \)
با انجام عملیات تفریق، \( \sqrt{2} \) برابر با یک عدد گویا میشود که این با گنگ بودن \( \sqrt{2} \) تناقض دارد.
پس فرض خلف باطل و حکم ثابت شد. حاصل جمع یک عدد گویا و یک عدد گنگ، همواره گنگ است.
