برهان خلف برای گنگ بودن a-b
فرض کنیم $a$ و $b$ دو عدد گنگ باشند و $a+b$ گویا باشد. میخواهیم با استفاده از برهان خلف ثابت کنیم که $a-b$ گنگ است.
برهان خلف: فرض کنیم $a-b$ گویا است. میدانیم:
- $a+b$ گویا است (فرض)
- $a-b$ گویا است (فرض خلف)
با جمع این دو رابطه، داریم:
پس:
از آنجایی که جمع دو عدد گویا، گویا است، پس $2a$ گویا است. بنابراین $a$ نیز گویا است زیرا حاصل تقسیم یک عدد گویا بر ۲ (که خود گویا است) گویا میباشد.
این نتیجه با فرض اولیه که $a$ گنگ است، در تناقض است. بنابراین فرض خلف ما اشتباه بوده و $a-b$ باید گنگ باشد.
یادآوری ایمنی: در انجام محاسبات ریاضی دقت لازم را داشته باشید.
