راهنمایی کوتاه: ابتدا نقاط ناپیوستگی را پیدا کن، سپس در نقاط پیوسته بررسی کن که آیا مشتق وجود دارد یا خیر.
گامبهگام:
- ۱) تابع به صورت دو بخشی تعریف شده: برای x>0 برابر با |1-√x| و برای x≤0 برابر با x²+1.
- ۲) بررسی پیوستگی در نقطه مرزی x=0:
حد چپ در x=0: lim(x→0⁻) f(x) = lim(x→0⁻) (x²+1) = 1.
حد راست در x=0: lim(x→0⁺) f(x) = lim(x→0⁺) |1-√x| = |1-0| = 1.
مقدار تابع در x=0: f(0) = 0²+1 = 1.
چون حد چپ، حد راست و مقدار تابع برابرند (همگی 1)، تابع در x=0 پیوسته است. - ۳) بررسی مشتقپذیری در x=0:
مشتق چپ: f'(0⁻) = lim(h→0⁻) [(f(0+h)-f(0))/h] = lim(h→0⁻) [((h²+1)-1)/h] = lim(h→0⁻) [h²/h] = lim(h→0⁻) h = 0.
مشتق راست: f'(0⁺) = lim(h→0⁺) [(f(0+h)-f(0))/h] = lim(h→0⁺) [(|1-√h| - 1)/h].
برای h کوچک مثبت، √h کوچک است، پس 1-√h مثبت است و قدر مطلق تاثیری ندارد: |1-√h| = 1-√h.
بنابراین: f'(0⁺) = lim(h→0⁺) [((1-√h)-1)/h] = lim(h→0⁺) [-√h/h] = lim(h→0⁺) [-1/√h] = -∞.
چون مشتق راست بینهایت است (وجود ندارد)، تابع در x=0 مشتقپذیر نیست. - ۴) بررسی بخش x>0: f(x)=|1-√x|. این تابع وقتی که عبارت داخل قدر مطلق صفر شود، ممکن است مشتقپذیر نباشد.
1-√x=0 → √x=1 → x=1.
در x=1، تابع پیوسته است (مقدار 0)، اما بررسی مشتق:
مشتق چپ در x=1: برای x<1، √x<1، پس 1-√x>0 و قدر مطلق تاثیری ندارد: f(x)=1-√x → f'(x)=-1/(2√x). پس f'(1⁻) = -1/2.
مشتق راست در x=1: برای x>1، √x>1، پس 1-√x<0 و قدر مطلق علامت را عوض میکند: f(x)=√x-1 → f'(x)=1/(2√x). پس f'(1⁺) = 1/2.
چون مشتق چپ و راست برابر نیستند (-1/2 ≠ 1/2)، تابع در x=1 مشتقپذیر نیست. - ۵) جمعبندی:
- تابع در تمام نقاط پیوسته است (هیچ نقطه ناپیوستگی ندارد).
- تابع در دو نقطه x=0 و x=1 مشتقپذیر نیست.
پاسخ نهایی:
تعداد نقاط ناپیوسته: ۰
تعداد نقاط مشتقناپذیر: ۲ (در x=0 و x=1)
مثال مشابه:
تابع g(x)={x برای x≤0, |x-1| برای x>0} را در نظر بگیر. در x=0 پیوسته است؟ در x=1 چطور؟ مشتقپذیر است؟
اگر میخواهی بیشتر یاد بگیری:
- مفهوم پیوستگی و شرایط آن (برابری حد و مقدار تابع) را مرور کن.
- شرایط مشتقپذیری (برابری مشتق چپ و راست) را تمرین کن.
- توابع شامل قدر مطلق اغلب در نقطهای که داخل قدر مطلق صفر میشود، مشتقناپذیر هستند.
