مشتق تابع در نقطه پيوستگي با مشتق نامتناهي

مفهوم مشتق و پیوستگی

تابع $f$ در نقطه $x=a$ پیوسته است، یعنی حد تابع در $a$ با مقدار تابع در $a$ برابر است.

اگر در نقطه $x=a$، مشتق چپ و راست تابع به بی‌نهایت میل کند، به این معنی است که شیب خط مماس بر منحنی تابع در آن نقطه بسیار زیاد است.

• مشتق چپ: $\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\pm \infty$
• مشتق راست: $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\pm \infty$

در چنین شرایطی، تابع در نقطه $a$ مشتق‌پذیر نیست زیرا مشتق باید یک مقدار متناهی باشد.

نتیجه: اگر تابع $f$ در $x=a$ پیوسته باشد و مشتق چپ و راست آن در این نقطه نامتناهی باشد، آنگاه تابع در $a$ مشتق‌پذیر نیست.