مشتق چیست و چگونه محاسبه می‌شود؟

راهنمایی کوتاه: مشتق نشان‌دهنده‌ی نرخ تغییر یک تابع در یک نقطه است.

گام‌به‌گام:

• ۱) مفهوم مشتق: فرض کنید یک تابع مثل $f\left(x\right)$ دارید. مشتق در یک نقطه، شیب خط مماس بر نمودار تابع در آن نقطه است.
• ۲) تعریف ریاضی: مشتق تابع $f\left(x\right)$ در نقطه‌ی $x=a$ به صورت حد زیر تعریف می‌شود:
  $f^{\prime }\left(a\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}$
• ۳) محاسبه‌ی عملی: برای محاسبه‌ی مشتق، معمولاً از فرمول‌های مشتق‌گیری استفاده می‌کنیم. مثلاً برای تابع $f\left(x\right)=x^2$، مشتق $f^{\prime }\left(x\right)=2x$ است.
• ۴) کاربردها: مشتق در فیزیک (سرعت و شتاب)، اقتصاد (نرخ تغییر هزینه) و مهندسی کاربرد دارد.
• ۵) تمرین: سعی کنید مشتق تابع $f\left(x\right)=3x+5$ را با استفاده از تعریف حد محاسبه کنید.

پاسخ نهایی: مشتق، شیب خط مماس بر نمودار تابع است و با حدگیری از نسبت تغییرات تابع به تغییرات متغیر محاسبه می‌شود.

مثال مشابه: اگر $f\left(x\right)=x^3$، آنگاه $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2$.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی مشتق توابع مثلثاتی (مانند سینوس و کسینوس) یا قواعد مشتق‌گیری مثل قاعده‌ی زنجیره‌ای را مطالعه کنی.