احتمال کشیدن مهره‌های رنگی از ظرف

سلام! سوال خوبی پرسیدی. این یک مسئله احتمال است که در آن مهره‌ها را بدون جایگذاری برمی‌داریم. یعنی وقتی یک مهره را بیرون می‌آوریم، آن را برنمی‌گردانیم.

راهنمایی کوتاه: برای محاسبه احتمال، تعداد حالت‌های مطلوب را بر تعداد کل حالت‌های ممکن تقسیم می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) ابتدا اطلاعات مسئله را مرور می‌کنیم: ۱۲ مهره داریم (۵ قرمز + ۷ سبز).
• ۲) دو مهره بدون جایگذاری بیرون می‌آوریم (یعنی مهره اول برنمی‌گردد).
• ۳) برای قسمت الف (هر دو مهره قرمز):
  احتمال مهره اول قرمز = ۵/۱۲
  بعد از بیرون آوردن یک مهره قرمز، ۱۱ مهره باقی می‌ماند که ۴ تای آن قرمز است.
  احتمال مهره دوم قرمز (با شرط قرمز بودن اولی) = ۴/۱۱
  احتمال هر دو قرمز = (۵/۱۲) × (۴/۱۱) = ۲۰/۱۳۲ = ۵/۳۳
• ۴) برای قسمت ب (مهره دوم قرمز):
  این احتمال مستقل از رنگ مهره اول است. دو حالت داریم:
  حالت ۱: مهره اول قرمز باشد (۵/۱۲) و سپس مهره دوم قرمز (۴/۱۱)
  حالت ۲: مهره اول سبز باشد (۷/۱۲) و سپس مهره دوم قرمز (۵/۱۱)
  احتمال کل = (۵/۱۲ × ۴/۱۱) + (۷/۱۲ × ۵/۱۱) = (۲۰/۱۳۲) + (۳۵/۱۳۲) = ۵۵/۱۳۲ = ۵/۱۲
• ۵) برای قسمت ج (هر دو مهره سبز):
  احتمال مهره اول سبز = ۷/۱۲
  احتمال مهره دوم سبز (با شرط سبز بودن اولی) = ۶/۱۱
  احتمال هر دو سبز = (۷/۱۲) × (۶/۱۱) = ۴۲/۱۳۲ = ۷/۲۲

پاسخ نهایی:

• الف) احتمال هر دو مهره قرمز = $\frac{5}{33}$
• ب) احتمال مهره دوم قرمز = $\frac{5}{12}$
• ج) احتمال هر دو مهره سبز = $\frac{7}{22}$

مثال مشابه: فرض کن یک کیسه ۱۰ تایی داریم با ۳ مهره آبی و ۷ مهره زرد. اگر دو مهره بدون جایگذاری بیرون بیاوریم، احتمال اینکه هر دو آبی باشند چقدر است؟
پاسخ: (۳/۱۰) × (۲/۹) = ۶/۹۰ = ۱/۱۵

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن مسئله را با درخت احتمال یا فرمول ترکیبیات هم حل کنی. همچنین می‌توانی حالت‌های مختلف رنگ‌آمیزی مهره‌ها را بررسی کنی.