احتمال کشیدن مهره‌های قرمز و سبز

راهنمایی کوتاه: این مسئله درباره‌ی احتمال کشیدن مهره‌ها بدون جایگذاری است.

گام‌به‌گام:

1. ابتدا کل حالت‌های ممکن را برای کشیدن دو مهره از ۱۲ مهره محاسبه می‌کنیم. این برابر است با ترکیب ۲ از ۱۲:
   $C(12,2)=\frac{12\times 11}{2\times 1}=66$
2. برای قسمت الف (هر دو مهره قرمز): تعداد حالت‌های مطلوب برابر است با ترکیب ۲ از ۵ مهره قرمز:
   $C(5,2)=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$
   پس احتمال برابر است با:
   $P\left(\text{الف}\right)=\frac{10}{66}=\frac{5}{33}$
3. برای قسمت ب (مهره دوم قرمز): این احتمال را می‌توان به دو حالت تقسیم کرد:
   • حالت ۱: مهره اول قرمز و مهره دوم قرمز: $\frac{5}{12}\times \frac{4}{11}=\frac{20}{132}$
   • حالت ۲: مهره اول سبز و مهره دوم قرمز: $\frac{7}{12}\times \frac{5}{11}=\frac{35}{132}$
   احتمال کل برابر است با مجموع این دو حالت:
   $P\left(\text{ب}\right)=\frac{20}{132}+\frac{35}{132}=\frac{55}{132}=\frac{5}{12}$
4. برای قسمت ج (هر دو مهره سبز): تعداد حالت‌های مطلوب برابر است با ترکیب ۲ از ۷ مهره سبز:
   $C(7,2)=\frac{7\times 6}{2\times 1}=21$
   پس احتمال برابر است با:
   $P\left(\text{ج}\right)=\frac{21}{66}=\frac{7}{22}$

پاسخ نهایی:

• الف) احتمال هر دو مهره قرمز: $\frac{5}{33}$
• ب) احتمال مهره دوم قرمز: $\frac{5}{12}$
• ج) احتمال هر دو مهره سبز: $\frac{7}{22}$

مثال مشابه: اگر ظرفی حاوی ۸ مهره آبی و ۴ مهره زرد باشد و دو مهره بدون جایگذاری بیرون بیاوریم، احتمال اینکه هر دو آبی باشند چقدر است؟ (پاسخ: $\frac{C(8,2)}{C(12,2)}=\frac{28}{66}=\frac{14}{33}$)

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی درباره‌ی تفاوت احتمال با جایگذاری و بدون جایگذاری مطالعه کنی. در مسئله‌های بدون جایگذاری، تعداد کل مهره‌ها پس از هر کشیدن تغییر می‌کند.