بررسی مشتق‌پذیری تابع f(x) = [x] در نقطه صفر
تابع f(x) = [x] نشان‌دهنده جزء صحیح x است. برای بررسی مشتق‌پذیری این تابع در نقطه x = 0، ابتدا باید مفهوم مشتق و شرایط آن را مرور کنیم.
مشتق تابع f در نقطه x = a اگر حد زیر وجود داشته باشد، تعریف می‌شود:
برای تابع f(x) = [x] و نقطه x = 0، داریم:
اکنون، حد را از دو طرف بررسی می‌کنیم:
- هنگام نزدیک شدن به صفر از سمت راست (h > 0 و به صفر نزدیک می‌شود): [h] = 0، پس حد برابر صفر است.
- هنگام نزدیک شدن به صفر از سمت چپ (h < 0 و به صفر نزدیک می‌شود): [h] = -1، پس حد برابر بینهایت منفی می‌شود.
چون حد از دو طرف برابر نیست، پس تابع در x = 0 مشتق‌پذیر نیست.
بنابراین، جمله "تابع f(x)=[x] در صفر مشتق‌پذیر است" نادرست است.
