مقایسه حجم و مساحت مکعب و استوانه

سلام! سوال جالبی درباره مقایسه دو نوع بسته‌بندی چای مطرح کردی. بیا با هم بررسی کنیم.

راهنمایی کوتاه: برای پاسخ به این سوال، باید حجم (مقدار چای) و مساحت جانبی (مقدار ورق) هر شکل را محاسبه کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) مشخصات شکل‌ها: هر دو شکل طول و عرض ۱۰ سانتی‌متر دارند. شکل اول یک مکعب مربع است (یعنی یک مکعب که قاعده‌اش مربع است). شکل دوم یک استوانه است که قطر قاعده‌اش ۱۰ سانتی‌متر است (پس شعاع آن ۵ سانتی‌متر می‌شود).
• ۲) محاسبه حجم (مقدار چای):
  - حجم مکعب = طول × عرض × ارتفاع = $10\times 10\times 10=1000$ واحد مکعب.
  - حجم استوانه = مساحت قاعده × ارتفاع = (شعاع × شعاع × عدد پی) × ارتفاع = $(5\times 5\times 3)\times 10=(25\times 3)\times 10=75\times 10=750$ واحد مکعب.
• ۳) محاسبه مساحت جانبی (ورق گالوانیزه): منظور مساحت سطحی است که باید با ورق پوشانده شود (بدون در نظر گرفتن درب و کف، اگر سوال کل سطح را بخواهد، متفاوت است. اما معمولاً در چنین سوالاتی مساحت جانبی مد نظر است).
  - مساحت جانبی مکعب = محیط قاعده × ارتفاع = $(4\times 10)\times 10=40\times 10=400$ واحد مربع.
  - مساحت جانبی استوانه = محیط دایره × ارتفاع = (قطر × عدد پی) × ارتفاع = $(10\times 3)\times 10=30\times 10=300$ واحد مربع.
• ۴) جمع‌بندی محاسبات:
  - حجم مکعب (1000) > حجم استوانه (750) → پس در مکعب چای بیشتری جای می‌گیرد.
  - مساحت جانبی مکعب (400) > مساحت جانبی استوانه (300) → پس برای ساخت قوطی مکعب ورق گالوانیزه بیشتری مصرف می‌شود.

پاسخ نهایی:

• چای بیشتر در مکعب مربع جای می‌گیرد.
• ورق گالوانیزه بیشتری برای ساخت مکعب مربع به کار رفته است.

مثال مشابه: فرض کن دو جعبه کادو داری: یکی مکعب‌شکل و دیگری استوانه‌ای. اگر هر دو هم‌عرض باشند، معمولاً جعبه مکعبی فضای داخلی بیشتری دارد اما برای بسته‌بندی به کاغذ بیشتری نیاز دارد.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری:

• حمل و نقل: قوطی‌های مکعبی معمولاً برای انبار کردن و چیدن در کنار هم مناسب‌ترند چون فضای خالی بین آن‌ها کمتر می‌ماند. پس از نظر صرفه‌جویی در فضای انبار و کامیون، مکعب مناسب‌تر است.
• اگر من مدیر کارخانه بودم: بستگی به هدف دارد. اگر هدف حجم فروش بیشتر چای در هر بسته باشد، مکعب را انتخاب می‌کردم. اگر هدف صرفه‌جویی در هزینه ورق باشد، استوانه را انتخاب می‌کردم. اما از آنجایی که حمل و نقل و انبارداری برای یک کارخانه خیلی مهم است و مکعب‌ها بهتر در کنار هم چیده می‌شوند، احتمالاً مکعب مربع را انتخاب می‌کردم.

راهنمایی کوتاه: برای پاسخ به این سوال باید حجم و مساحت جانبی دو شکل را محاسبه کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) اطلاعات داده شده: هر دو شکل طول و عرض ۱۰ دارند. یعنی مکعب مربع، طول، عرض و ارتفاعش ۱۰ است. استوانه قطر قاعده‌اش ۱۰ است (پس شعاعش ۵) و ارتفاعش هم ۱۰ است.
• ۲) محاسبه حجم مکعب: حجم مکعب = طول × عرض × ارتفاع = ۱۰ × ۱۰ × ۱۰ = ۱۰۰۰ واحد مکعب.
• ۳) محاسبه حجم استوانه: حجم استوانه = مساحت قاعده × ارتفاع. مساحت قاعده دایره = π × شعاع × شعاع. با π=۳ و شعاع=۵ می‌شود: ۳ × ۵ × ۵ = ۷۵. حالا حجم = ۷۵ × ۱۰ = ۷۵۰ واحد مکعب.
• ۴) مقایسه حجم: حجم مکعب (۱۰۰۰) از حجم استوانه (۷۵۰) بیشتر است. پس در مکعب چای بیشتری جای می‌گیرد.
• ۵) محاسبه ورق مصرفی (مساحت جانبی): مکعب ۶ وجه دارد. مساحت هر وجه = ۱۰ × ۱۰ = ۱۰۰. پس مساحت کل = ۶ × ۱۰۰ = ۶۰۰ واحد مربع.
• ۶) مساحت جانبی استوانه: محیط دایره × ارتفاع. محیط دایره = π × قطر = ۳ × ۱۰ = ۳۰. مساحت جانبی = ۳۰ × ۱۰ = ۳۰۰ واحد مربع. (توجه: در این سوال فقط مساحت بدنه در نظر گرفته شده، نه سر و ته قوطی).
• ۷) مقایسه ورق: برای مکعب ۶۰۰ واحد ورق و برای استوانه ۳۰۰ واحد ورق نیاز است. پس برای ساخت مکعب ورق بیشتری مصرف می‌شود.

پاسخ نهایی:

• چای بیشتر در مکعب جای می‌گیرد (حجم ۱۰۰۰ > ۷۵۰).
• ورق گالوانیزه بیشتری برای ساخت مکعب نیاز است (۶۰۰ > ۳۰۰).
• برای حمل‌ونقل، استوانه مناسب‌تر است چون معمولاً شکل استوانه‌ای در کنار هم چیده می‌شوند و فضای خالی کمتری بین آن‌ها می‌ماند. همچنین در دست گرفتن و غلتاندن آن راحت‌تر است.
• اگر مدیر کارخانه باشم، بستگی به هدف دارد. اگر هدف صرفه‌جویی در مواد اولیه (ورق) باشد، استوانه را انتخاب می‌کنم. اگر هدف بسته‌بندی چای بیشتر در یک قوطی باشد، مکعب را انتخاب می‌کنم. اما معمولاً در صنعت، قوطی‌های استوانه‌ای برای مایعات و پودرها رایج‌ترند.

مثال مشابه: فرض کن دو جعبه کادو داری: یکی مکعب‌شکل با ضلع ۲۰ سانتی‌متر و یکی استوانه‌ای با قطر ۲۰ سانتی‌متر و ارتفاع ۲۰ سانتی‌متر. کدام می‌تواند هدیه بزرگ‌تری را در خود جای دهد؟ (مکعب، چون حجمش بیشتر است).

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی برای استوانه مساحت کل (با در نظر گرفتن دو سر دایره‌ای) را هم حساب کنی و دوباره با مکعب مقایسه کنی. مساحت دو سر دایره = ۲ × (π × شعاع × شعاع) = ۲ × (۳ × ۵ × ۵) = ۱۵۰. پس مساحت کل استوانه = ۳۰۰ + ۱۵۰ = ۴۵۰ که باز هم از ۶۰۰ کمتر است.