تغییر حجم استوانه با دوبرابر شدن ابعاد

راهنمایی کوتاه: ابتدا فرمول حجم استوانه را بنویس، سپس ابعاد جدید را جایگذاری کن و ببین حجم چند برابر می‌شود.

گام‌به‌گام:

• ۱) فرمول حجم استوانه: $V=\pi r^{2}h$ که در آن r شعاع قاعده و h ارتفاع است.
• ۲) محیط قاعده دو برابر شده است. محیط دایره $C=2\pi r$ است. اگر محیط دو برابر شود، یعنی $2C=2\left(2\pi r\right)=4\pi r$، پس شعاع جدید (r') برابر است با: $4\pi r^{\prime }=4\pi r\Rightarrow r^{\prime }=r$؟ صبر کن! محاسبه را دوباره چک می‌کنیم: اگر محیط دو برابر شود، یعنی $C^{\prime }=2C$. پس $2\pi r^{\prime }=2\left(2\pi r\right)=4\pi r$. از دو طرف $2\pi$ را حذف می‌کنیم: $r^{\prime }=2r$. یعنی شعاع هم دو برابر می‌شود.
• ۳) ارتفاع هم دو برابر شده است: $h^{\prime }=2h$.
• ۴) حالا حجم جدید را محاسبه می‌کنیم: $V^{\prime }=\pi {\left(r^{\prime }\right)}^2{h}^{\prime }=\pi {\left(2r\right)}^2\left(2h\right)$.
• ۵) ساده می‌کنیم: $V^{\prime }=\pi \left(4r^2\right)\left(2h\right)=8\pi r^{2}h$.
• ۶) حجم قدیم $V=\pi r^{2}h$ بود. پس $V^{\prime }=8V$. یعنی حجم ۸ برابر می‌شود.

پاسخ نهایی: حجم استوانه ۸ برابر می‌شود.

مثال مشابه: فرض کن یک استوانه شعاع ۳ سانتی‌متر و ارتفاع ۵ سانتی‌متر دارد. حجم آن $\pi \times 3^2\times 5=45\pi$ سانتی‌متر مکعب است. اگر شعاع و ارتفاع هر دو دو برابر شوند (شعاع ۶، ارتفاع ۱۰)، حجم جدید می‌شود $\pi \times 6^2\times 10=360\pi$. نسبت حجم جدید به قدیم: $\frac{360\pi }{45\pi }=8$.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن اگر فقط ارتفاع دو برابر شود یا فقط شعاع دو برابر شود، حجم چند برابر می‌شود؟ یا اگر هر سه بعد یک مکعب دو برابر شود، حجم چند برابر می‌شود؟

راهنمایی کوتاه: ابتدا فرمول حجم استوانه را بنویس، سپس ابعاد جدید را جایگذاری کن و ببین حجم چند برابر می‌شود.

گام‌به‌گام:

• ۱) فرمول حجم استوانه: $V=\pi r^{2}h$ که در آن r شعاع قاعده و h ارتفاع است.
• ۲) محیط قاعده دو برابر شده است. محیط دایره $C=2\pi r$ است. اگر محیط دو برابر شود، یعنی $2C=2\left(2\pi r\right)=4\pi r$، پس شعاع جدید (r') برابر است با: $4\pi r^{\prime }=4\pi r\Rightarrow r^{\prime }=r$؟ صبر کن! محاسبه را دوباره چک می‌کنیم: اگر محیط دو برابر شود، یعنی $C^{\prime }=2C$. پس $2\pi r^{\prime }=2\left(2\pi r\right)=4\pi r$. از دو طرف $2\pi$ را حذف می‌کنیم: $r^{\prime }=2r$. یعنی شعاع هم دو برابر می‌شود.
• ۳) ارتفاع هم دو برابر شده است: $h^{\prime }=2h$.
• ۴) حالا حجم جدید را محاسبه می‌کنیم: $V^{\prime }=\pi {\left(r^{\prime }\right)}^2{h}^{\prime }=\pi {\left(2r\right)}^2\left(2h\right)$.
• ۵) ساده می‌کنیم: $V^{\prime }=\pi \left(4r^2\right)\left(2h\right)=8\pi r^{2}h$.
• ۶) حجم قدیم $V=\pi r^{2}h$ بود. پس $V^{\prime }=8V$. یعنی حجم ۸ برابر می‌شود.

پاسخ نهایی: حجم استوانه ۸ برابر می‌شود.

مثال مشابه: اگر شعاع قاعده یک استوانه ۳ برابر و ارتفاع آن ۲ برابر شود، حجم آن چند برابر می‌شود؟
حجم جدید: $V^{\prime }=\pi {\left(3r\right)}^2\left(2h\right)=\pi \left(9r^2\right)\left(2h\right)=18\pi r^{2}h=18V$. پس ۱۸ برابر می‌شود.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن ببینی اگر فقط ارتفاع دو برابر شود (و شعاع ثابت بماند) حجم چند برابر می‌شود؟ یا اگر فقط شعاع دو برابر شود (و ارتفاع ثابت بماند) چطور؟ این کار به درک بهتر رابطه کمک می‌کند.