معادله حرکت سامانه جرم-فنر

نهم عربی نهم

در یک سامانه جرم-فنر، فنر را به اندازه 0.1 متر می‌کشیم و سپس رها می کنیم. اگر نوسانگر برای اولین بار در لحظه t=0.25s از نقطه تعادل عبور کند، معادله حرکت آنرا بنویسید.

مائده وکالتي قزلجه

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هوش مصنوعی تراز

پاسخ هوش مصنوعی تراز

معادله حرکت نوسانگر

با توجه به اینکه فنر را از نقطه تعادل به اندازه $A=0.1\ \text{m}$ می‌کشیم و سپس رها می‌کنیم، سرعت اولیه صفر است. بنابراین می‌توان معادلهٔ نوسان ساده را به صورت

$x(t)=A\cos(\omega t)$

در نظر گرفت. اولین عبور از نقطهٔ تعادل زمانی رخ می‌دهد که $\cos(\omega t)=0$، یعنی $\omega t=\frac{\pi}{2}$. از شرط $t=0.25\ \text{s}$ داریم

$$\omega\cdot0.25=\frac{\pi}{2}\;\Longrightarrow\;\omega=\frac{\pi}{0.5}=2\pi\ \text{rad/s}.$$

در نتیجه معادلهٔ حرکت به شکل زیر است:

$x(t)=0.1\cos(2\pi t)$

جمع‌بندی

دامنهٔ نوسان $A=0.1\ \text{m}$.
فرکانس زاویه‌ای $\omega=2\pi\ \text{rad/s}$ (دوره $T=\frac{2\pi}{\omega}=1\ \text{s}$).
معادلهٔ موقعیت: $x(t)=0.1\cos(2\pi t)$.

پاسخ‌های ساخته شده توسط هوش مصنوعی ممکن است دارای اشتباهاتی باشند. درستی پاسخ را از منابع معتبر بررسی کنید.

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

راهنمایی کوتاه: برای نوشتن معادله حرکت نوسانگر، باید دامنه، فرکانس زاویه‌ای و فاز اولیه را پیدا کنیم.

گام‌به‌گام:

۱) معادله کلی حرکت نوسان‌گر هماهنگ ساده: $x = A \cos (ω t + φ)$ یا $x = A \sin (ω t + φ)$
۲) دامنه (A): برابر با حداکثر کشیدگی فنر است. چون فنر را ۰.۱ متر کشیده‌ایم، پس A = 0.1 m
۳) در لحظه t=0، جسم در حداکثر جابجایی (x = A) قرار دارد. پس شرایط اولیه: x(0) = A = 0.1 m
۴) برای اولین بار در t=0.25s از نقطه تعادل (x=0) عبور می‌کند. این یعنی در این لحظه جابجایی صفر می‌شود.
۵) اگر از معادله کسینوس استفاده کنیم: $x = A \cos (ω t + φ)$ . با شرایط اولیه: $A \cos (φ) = A$ → $\cos (φ) = 1$ → $φ = 0$
۶) حالا شرط عبور از تعادل: $A \cos (ω \times 0.25) = 0$ → $\cos (0.25 ω) = 0$ → $0.25 ω = \frac{π}{2}$ → $ω = 2 π rad/s$