اثبات و محاسبه سرعت متوسط

راهنمایی کوتاه: سرعت متوسط یعنی «اگر کل مسیر را با یک سرعت ثابت می‌رفتیم، آن سرعت چقدر بود؟» پس کل مسافت را بر کل زمان تقسیم می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

۱) اول معنی سرعت ثابت را بنویس: اگر جسمی با سرعت ثابت $v$ حرکت کند، مسافت را از رابطه‌ی $d=v\times t$ به دست می‌آوریم.

۲) حالا همین رابطه را برای $v$ حل کن: دو طرف را بر $t$ تقسیم کن، پس $v=\frac{d}{t}$. این همان تعریف سرعت متوسط است.

۳) در حرکت واقعی سرعت تغییر می‌کند، پس همه‌ی مسافت‌های طی‌شده را با هم جمع کن تا مسافت کل ($d_{\mathrm{کل}}$) به دست آید.

۴) همه‌ی زمان‌ها را هم جمع کن تا زمان کل ($t_{\mathrm{کل}}$) به دست آید؛ زمان توقف‌ها را هم حساب کن.

۵) تقسیم کن: ${\bar{v}}_{}=\frac{d_{\mathrm{کل}}}{t_{\mathrm{کل}}}$ و یکای آن را بنویس (متر بر ثانیه یا کیلومتر بر ساعت).

۶) برای اطمینان، جواب را با حالت سرعت ثابت بسنج: اگر روی همان مسیر با همین سرعت متوسط حرکت می‌کردیم، باید همان زمان کل به دست می‌آمد.

پاسخ نهایی:

سرعت متوسط از اثبات بالا به این رابطه می‌رسد: $\bar{v}=\frac{d_{\mathrm{کل}}}{t_{\mathrm{کل}}}$ — یعنی همیشه «مجموع مسافت‌ها تقسیم بر مجموع زمان‌ها»، نه میانگین گرفتن از سرعت‌ها.

مثال مشابه:

دوچرخه‌سواری ۳۰۰ متر را در ۶۰ ثانیه و سپس ۲۰۰ متر را در ۴۰ ثانیه می‌رود. مسافت کل ۵۰۰ متر و زمان کل ۱۰۰ ثانیه است، پس سرعت متوسط برابر است با $\frac{500}{100}=5$ متر بر ثانیه.

نکته‌ی مهم: اگر زمان‌ها برابر باشند، میانگین ساده‌ی سرعت‌ها هم جواب می‌دهد؛ مثلاً ۱۰ ثانیه با ۴ متر بر ثانیه و ۱۰ ثانیه با ۶ متر بر ثانیه، سرعت متوسط ۵ متر بر ثانیه می‌شود. ولی اگر زمان‌ها برابر نباشند، فقط راه جمع کردن مسافت و زمان درست است.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: تفاوت «سرعت متوسط» با «سرعت لحظه‌ای» را بررسی کن؛ مثلاً سرعت‌سنج خودرو سرعت لحظه‌ای را نشان می‌دهد، ولی برای کل سفر از سرعت متوسط استفاده می‌کنیم.