حل نامعادله کسری با متغیر

راهنمایی کوتاه: برای حل این نامعادله، باید طرفین را ساده کرده و متغیر را جدا کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) ابتدا نامعادله را به صورت ریاضی بنویسیم: $\frac{x-6}{4}<\frac{3}{2x}+\frac{2}{8}$
• ۲) برای راحتی، مخرج‌ها را یکسان کنیم. کوچکترین مضرب مشترک (ک.م.م) اعداد ۴، ۲x و ۸ برابر با ۸x است.
• ۳) هر جمله را در ۸x ضرب می‌کنیم تا مخرج‌ها حذف شوند. توجه: چون x می‌تواند مثبت یا منفی باشد، باید دو حالت در نظر بگیریم. اما معمولاً در این سطح، فرض می‌کنیم x>0 تا جهت نامعادله تغییر نکند. (اگر x<0 باشد، جهت نامعادله هنگام ضرب معکوس می‌شود).
• ۴) با فرض x>0، ضرب می‌کنیم: $8x\times \frac{x-6}{4}<8x\times \frac{3}{2x}+8x\times \frac{2}{8}$ که ساده می‌شود به: $2x(x-6)<12+2x$
• ۵) پرانتز را باز کرده و عبارت‌ها را مرتب می‌کنیم: $2x^2-12x<12+2x$ → همه را به یک طرف می‌بریم: $2x^2-14x-12<0$
• ۶) برای ساده‌تر شدن، کل نامعادله را بر ۲ تقسیم می‌کنیم: $x^2-7x-6<0$
• ۷) ریشه‌های معادله درجه دوم $x^2-7x-6=0$ را پیدا می‌کنیم. با استفاده از روش تجزیه یا فرمول دلتا: $x=\frac{7\pm \sqrt{49+24}}{2}=\frac{7\pm \sqrt{73}}{2}$. بنابراین ریشه‌ها تقریباً برابر با $x_1\approx -0.8$ و $x_2\approx 7.8$ هستند.
• ۸) چون ضریب $x^2$ مثبت است، نمودار سهمی به شکل U است. نامعادله $x^2-7x-6<0$ در فاصله بین دو ریشه برقرار است.
• ۹) همچنین باید شرط اولیه x>0 را نیز در نظر بگیریم (چون در مرحله ۳ فرض کردیم).

پاسخ نهایی: با ترکیب شرایط، پاسخ نامعادله به صورت زیر است:
$0<x<\frac{7+\sqrt{73}}{2}$ یا به صورت تقریبی: $0<x<7.8$ (تقریباً).
توجه: اگر حالت x<0 را هم بررسی کنیم، به جواب دیگری می‌رسیم، اما با توجه به سطح کتاب نهم، معمولاً فرض می‌شود متغیر مثبت است.

مثال مشابه: نامعادله $\frac{x+2}{3}>\frac{1}{x}+\frac{1}{6}$ را حل کنید. (ابتدا مخرج‌ مشترک بگیرید و سپس حل کنید).

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن حالت x<0 را هم بررسی کنی و ببینی آیا پاسخ دیگری به دست می‌آید یا خیر. همچنین می‌توانی پاسخ تقریبی را با جایگذاری اعدادی مانند ۱، ۵ و ۱۰ در نامعادله اصلی آزمایش کنی.