تجزیه چند عبارت جبری

راهنمایی کوتاه: از فرمول‌های اتحاد و فاکتورگیری استفاده می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) ابتدا هر عبارت را به‌طور جداگانه بررسی می‌کنیم.
• ۲) برای تفاضل مربع‌ها از اتحاد $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ استفاده می‌کنیم.
• ۳) برای تفاضل توان‌های ۴ و ۶، از اتحادهای مرتبط استفاده می‌کنیم.
• ۴) در هر مرحله، ابتدا فاکتورهای مشترک را خارج می‌کنیم.
• ۵) در نهایت، عبارت را تا حد ممکن ساده می‌کنیم.

پاسخ نهایی:

1. $(7x+5{)}^2-(2x-1{)}^2=\left[\right(7x+5)-(2x-1\left)\right]\left[\right(7x+5)+(2x-1\left)\right]=(5x+6)(9x+4)$
2. $8x^4-8=8(x^4-1)=8(x^2-1)(x^2+1)=8(x-1)(x+1)(x^2+1)$
3. $x^6-y^6=(x^3{)}^2-(y^3{)}^2=(x^3-y^3)(x^3+y^3)=(x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)(x^2-xy+y^2)$
4. $81x-4ax=x(81-4a)$
5. $4a^4-64=4(a^4-16)=4(a^2-4)(a^2+4)=4(a-2)(a+2)(a^2+4)$

مثال مشابه: عبارت $9x^2-25$ را تجزیه کنید. پاسخ: $(3x-5)(3x+5)$

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن عبارت $x^8-1$ را با استفاده از اتحاد تفاضل مربع‌ها و فاکتورگیری تجزیه کنی.

راهنمایی کوتاه: از فرمول‌های اتحاد و فاکتورگیری استفاده می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) (۷x + ۵)² – (۲x – ۱)²: این یک اتحاد مزدوج است: a² – b² = (a – b)(a + b).
• a = ۷x + ۵ و b = ۲x – ۱.
• ابتدا a – b = (۷x + ۵) – (۲x – ۱) = ۷x + ۵ – ۲x + ۱ = ۵x + ۶.
• سپس a + b = (۷x + ۵) + (۲x – ۱) = ۷x + ۵ + ۲x – ۱ = ۹x + ۴.
• پس حاصل ضرب (۵x + ۶)(۹x + ۴) است.
• ۲) ۸x⁴ – ۸: ابتدا ۸ را فاکتور می‌گیریم: ۸(x⁴ – ۱).
• عبارت داخل پرانتز هم یک اتحاد مزدوج است: x⁴ – ۱ = (x²)² – ۱² = (x² – ۱)(x² + ۱).
• عبارت x² – ۱ هم دوباره اتحاد مزدوج است: (x – ۱)(x + ۱).
• پس حاصل نهایی: ۸(x – ۱)(x + ۱)(x² + ۱).
• ۳) x⁶ – y⁶: می‌توان آن را به صورت (x³)² – (y³)² دید (اتحاد مزدوج).
• پس: (x³ – y³)(x³ + y³).
• هر کدام از این‌ها هم اتحادهای دیگری هستند: x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²) و x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²).
• پس حاصل: (x – y)(x + y)(x² + xy + y²)(x² – xy + y²).
• ۴) ۸۱x – ۴x: ابتدا عبارت‌های مشابه را جمع می‌کنیم: ۸۱x – ۴x = ۷۷x.
• حالا فاکتورگیری: ۷۷x = ۷ × ۱۱ × x. (توجه: اگر سؤال ۸۱x – a⁴x باشد، ابتدا x فاکتور گرفته می‌شود: x(۸۱ – a⁴). سپس ۸۱ – a⁴ = (۹)² – (a²)² = (۹ – a²)(۹ + a²) و باز هم ۹ – a² = (۳ – a)(۳ + a).)
• ۵) ۴a⁴ – ۶۴: ابتدا ۴ را فاکتور می‌گیریم: ۴(a⁴ – ۱۶).
• عبارت داخل پرانتز: a⁴ – ۱۶ = (a²)² – ۴² = (a² – ۴)(a² + ۴).
• عبارت a² – ۴ هم اتحاد مزدوج است: (a – ۲)(a + ۲).
• پس حاصل نهایی: ۴(a – ۲)(a + ۲)(a² + ۴).

پاسخ نهایی:

1. (۷x + ۵)² – (۲x – ۱)² = (۵x + ۶)(۹x + ۴)
2. ۸x⁴ – ۸ = ۸(x – ۱)(x + ۱)(x² + ۱)
3. x⁶ – y⁶ = (x – y)(x + y)(x² + xy + y²)(x² – xy + y²)
4. ۸۱x – ۴x = ۷۷x = ۷ × ۱۱ × x (اگر منظور ۸۱x – a⁴x باشد: x(۳ – a)(۳ + a)(۹ + a²))
5. ۴a⁴ – ۶۴ = ۴(a – ۲)(a + ۲)(a² + ۴)

مثال مشابه: عبارت ۲۵x² – ۹ را تجزیه کن. این یک اتحاد مزدوج است: (۵x)² – ۳² = (۵x – ۳)(۵x + ۳).

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن عبارت‌های دیگری مثل x⁴ – y⁴ یا ۱۶a² – ۴۹b² را خودت تجزیه کنی. یادت باشد همیشه به دنبال فاکتور مشترک یا اتحادهای معروف (مثل اتحاد مزدوج، اتحاد جمله‌مشترک، اتحاد مکعب) باشی.