محاسبه عبارات با استفاده از معادله درجه دوم

سلام! خیلی خوبه که روی این مسئله کار می‌کنی. این یک تمرین جبری جالب از فصل معادلات درجه دوم است. بیا با هم حلش کنیم.

راهنمایی کوتاه: از معادله داده شده برای پیدا کردن رابطه بین x و 1/x استفاده می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) معادله داده شده را می‌نویسیم: $x^2-3x+1=0$
• ۲) توجه کن که x نمی‌تواند صفر باشد (چون در مخرج عبارت‌ها ظاهر می‌شود). پس می‌توانیم معادله را بر x تقسیم کنیم.
• ۳) معادله را بر x تقسیم می‌کنیم: $x-3+\frac{1}{x}=0$
• ۴) از این رابطه نتیجه می‌گیریم: $x+\frac{1}{x}=3$
• ۵) حالا برای قسمت (الف) باید $x^2+\frac{1}{x^2}$ را محاسبه کنیم.
• ۶) می‌دانیم: ${(x+\frac{1}{x})}^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}$
• ۷) پس: $x^2+\frac{1}{x^2}={(x+\frac{1}{x})}^2-2$
• ۸) با جایگذاری مقدار ۳: $x^2+\frac{1}{x^2}=3^2-2=9-2=7$
• ۹) برای قسمت (ب) باید $x^2-\frac{1}{x^2}$ را محاسبه کنیم.
• ۱۰) از رابطه $x^2-\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})$ استفاده می‌کنیم.
• ۱۱) مقدار $x-\frac{1}{x}$ را از معادله اصلی پیدا می‌کنیم: از $x+\frac{1}{x}=3$ و ${(x-\frac{1}{x})}^2={(x+\frac{1}{x})}^2-4$
• ۱۲) پس: ${(x-\frac{1}{x})}^2=3^2-4=9-4=5$
• ۱۳) بنابراین: $x-\frac{1}{x}=\pm \sqrt{5}$
• ۱۴) حالا عبارت قسمت (ب) می‌شود: $x^2-\frac{1}{x^2}=3\times (\pm \sqrt{5})=\pm 3\sqrt{5}$

پاسخ نهایی:

• الف) $x^2+\frac{1}{x^2}=7$
• ب) $x^2-\frac{1}{x^2}=\pm 3\sqrt{5}$

مثال مشابه: اگر $x^2-5x+1=0$ باشد، مقدار $x^2+\frac{1}{x^2}$ چقدر است؟ (پاسخ: ۲۳)

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی روی معادلاتی که به فرم $a{x}^2+bx+c=0$ هستند کار کنی و ببینی چگونه می‌توانی از آنها برای محاسبه عبارات شامل x و 1/x استفاده کنی. همچنین می‌توانی هویت‌های جبری مانند ${(x+\frac{1}{x})}^2$ و ${(x-\frac{1}{x})}^2$ را بیشتر تمرین کنی.