اثبات عمود منصف در مثلث متساوی‌الساقین

راهنمایی کوتاه: از ویژگی‌های مثلث متساوی‌الساقین و نیمساز برای اثبات استفاده کن.

گام‌به‌گام:

• ۱) در مثلث متساوی‌الساقین ABC (با AB = AC)، AD نیمساز زاویه‌ی A است.
• ۲) چون AD نیمساز است، زاویه‌های BAD و CAD با هم برابرند.
• ۳) در مثلث‌های ABD و ACD داریم:
  AB = AC (ضلع‌های برابر مثلث متساوی‌الساقین)
  AD ضلع مشترک
  زاویه‌ی BAD = زاویه‌ی CAD (از نیمساز)
  پس مثلث‌های ABD و ACD با هم همنهشت‌اند (ض ز ض).
• ۴) از همنهشتی، BD = CD و زاویه‌ی ADB = زاویه‌ی ADC به‌دست می‌آید.
• ۵) چون BD = CD، نقطه‌ی D وسط BC است.
• ۶) زاویه‌های ADB و ADC برابر و مجموع آن‌ها ۱۸۰ درجه است (چون روی خط راست قرار دارند). پس هر کدام ۹۰ درجه است.
• ۷) بنابراین AD از وسط BC می‌گذرد و بر آن عمود است؛ یعنی AD عمود منصف BC است.

پاسخ نهایی: با استفاده از همنهشتی مثلث‌های ABD و ACD، ثابت شد که AD وسط BC را نصف می‌کند و بر آن عمود است؛ پس AD عمود منصف BC است.

مثال مشابه: در مثلث متساوی‌الساقین XYZ با XY = XZ، اگر XW نیمساز زاویه‌ی X باشد، می‌توان ثابت کرد XW عمود منصف YZ است.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن این اثبات را با رسم شکل و علامت‌گذاری زاویه‌ها و اضلاع انجام دهی. می‌توانی حالت‌های دیگر مثلث متساوی‌الساقین (مثلاً با میانه یا ارتفاع از راس) را هم بررسی کنی.