بررسی گزاره های نظریه مجموعه ها

بیایید هر یک از گزاره‌ها را بررسی کنیم.

گزاره اول: اشتراک تمام زیر مجموعه های ۳ عضوی یک مجموعه ۵ عضوی تهی است.

• مجموعه ۵ عضوی را در نظر بگیرید: {A = {a, b, c, d, e
• زیرمجموعه‌های ۳ عضوی آن شامل همه ترکیبات ممکن ۳تایی از این ۵ عضو هستند.
• اشتراک تمام این زیرمجموعه‌ها تهی است چون هیچ عضوی در همه زیرمجموعه‌های ۳ عضوی مشترک نیست.
• پس این گزاره درست است.

گزاره دوم: اجتماع تمام زیر مجموعه های دو عضوی یک مجموعه شش عضوی ۶۴ زیر مجموعه دارد.

• تعداد زیرمجموعه‌های ۲ عضوی یک مجموعه ۶ عضوی برابر است با ترکیب ۲ از ۶.
• $\left(\frac{6}{2}\right)=15$
• اجتماع این زیرمجموعه‌ها خود مجموعه ۶ عضوی است و تعداد زیرمجموعه‌های آن برابر ۲^۶ = ۶۴ است.
• پس این گزاره درست است.

گزاره سوم: تعداد زیر مجموعه های ۴ عضوی و ۷ عضوی یک مجموعه ۱۱ عضوی باهم برابرند.

• تعداد زیرمجموعه‌های ۴ عضوی: $\left(\frac{11}{4}\right)$
• تعداد زیرمجموعه‌های ۷ عضوی: $\left(\frac{11}{7}\right)=\left(\frac{11}{4}\right)$ (چون $\left(\frac{n}{k}\right)=\left(\frac{n}{n-k}\right)$)
• پس این گزاره درست است.

گزاره چهارم: عدد اصلی اشتراک زیر مجموعه های یک عضوی هر مجموعه با عدد اصلی آن مجموعه برابر است.

• زیرمجموعه‌های تک عضوی یک مجموعه، شامل هر یک از اعضای آن مجموعه به تنهایی هستند.
• اشتراک این زیرمجموعه‌ها تهی است چون هیچ عضوی در همه آن‌ها مشترک نیست.
• پس این گزاره نادرست است.

راهنمایی کوتاه: گزاره‌های اول، دوم و سوم درست و گزاره چهارم نادرست است.

گام‌به‌گام:

۱. بررسی گزاره اول: اثبات درستی با استدلال درباره اشتراک زیرمجموعه‌ها.

۲. بررسی گزاره دوم: محاسبه تعداد زیرمجموعه‌های ۲ عضوی و اجتماع آن‌ها.

۳. بررسی گزاره سوم: استفاده از خاصیت ترکیب برای اثبات برابری.

۴. بررسی گزاره چهارم: نشان دادن نادرستی با مثال.

پاسخ نهایی: سه گزاره درست و یک گزاره نادرست است.

مثال مشابه: بررسی گزاره‌های مشابه درباره مجموعه‌ها و زیرمجموعه‌ها.

در این سوال، چندین گزاره در مورد نظریه مجموعه ها بررسی می شود.

• اشتراک تمام زیر مجموعه های 3 عضوی یک مجموعه 5 عضوی تهی است.
• اجتماع تمام زیر مجموعه های 2 عضوی یک مجموعه 6 عضوی 64 زیر مجموعه دارد.
• تعداد زیر مجموعه های 4 عضوی و 7 عضوی یک مجموعه 11 عضوی باهم برابرند.
• عدد اصلی اشتراک زیر مجموعه های یک عضوی هر مجموعه با عدد اصلی آن مجموعه برابر است.

راهنمایی کوتاه: برای حل این مسئله باید هر گزاره را جداگانه بررسی کرد.

گام‌به‌گام:

۱) بررسی گزاره اول: اشتراک تمام زیرمجموعه‌های ۳ عضوی یک مجموعه ۵ عضوی، لزوما تهی نیست؛ زیرا ممکن است عناصری در همه زیرمجموعه‌ها مشترک باشند.

۲) بررسی گزاره دوم: اجتماع تمام زیرمجموعه‌های ۲ عضوی یک مجموعه ۶ عضوی، خود مجموعه ۶ عضوی است؛ بنابراین شمار زیرمجموعه‌های آن با فرمول $\mathrm{۲}\times \mathrm{۶}$ محاسبه می‌شود که برابر ۶۴ است.

۳) بررسی گزاره سوم: تعداد زیرمجموعه‌های k عضوی یک مجموعه n عضوی با ترکیب $\left(\frac{n}{k}\right)$ برابر است. بنابراین، $\frac{11}{4}=\frac{11}{7}$ و گزاره صحیح است.

۴) بررسی گزاره چهارم: اشتراک زیرمجموعه‌های یک عضوی یک مجموعه، تهی است؛ مگر آنکه مجموعه، تهی باشد.

پاسخ نهایی: گزاره‌های دوم و سوم صحیح هستند.

مثال مشابه: بررسی گزاره‌های مختلف در مورد مجموعه‌ها و زیرمجموعه‌ها.