آزمون آنلاین ریاضیات گسسته - درس 1: استدلال ریاضی | آزمون شماره 3036

${a_1}\,,\,{a_2}\,,\,{a_3}$ سه عدد صحیح و ${b_3}\,,\,{b_2}\,,\,{b_1}$ همان اعداد ولی با ترتیب دیگری هستند. $({a_1} + {b_1})({a_2} + {b_2})({a_3} + {b_3})$ عددی ......... است، چون .........

به ازای چند عدد طبیعی n حاصل کسر \[\frac{{5n + 4}}{{2n - 7}}\] یک عدد طبیعی است؟

برای اثبات چه تعداد از عبارت‌های زیر به رابطه‌ی بدیهی ${{(x-y)}^{۲}}\ge ۰$ می‌رسیم؟

الف) $\frac{{{x}^{۲}}+{{y}^{۲}}}{۲}\ge xy$

ب) $~xy\left( {{x}^{۲}}+{{y}^{۲}} \right)\le {{y}^{۴}}+{{x}^{۴}}$

ج) $۲\le \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

د) $\frac{y}{{{x}^{۲}}}+\frac{x}{{{y}^{۲}}}~\ge ~\frac{۱}{x}+\frac{۱}{y}$

چه تعداد از گزاره‌های زیر مثال نقضی دارند؟

- به ازای تمام اعداد طبیعی برای $n$ ، عدد ${{۲}^{n}}+۱$ عددی اول است.

- به ازای تمام اعداد طبیعی فرد برای $n$ ،  عدد ${{۸}^{n}}+۱$ عددی مرکب است

- به ازای تمام اعداد طبیعی زوج برای $n$ ، عدد ${{۴}^{n}}-۱$ عددی مرکب است

چند گزاره از گزاره‌های زیر درست است و اثبات آن نیز از طریق برهان خلف مناسب‌تر است؟

الف) حاصل جمع دو عدد گنگ، عددی گنگ است.

ب) اگر $a_{۳},a_{۲},a_{۱} $  عددهایی صحیح و $b_{۳},b_{۲},b_{۱} $  هم همان اعداد ولی با ترتیب دیگری باشند، عدد$\left ( a_{۱}-b_{۱} \right )\left ( a_{۲}-b_{۲} \right )\left ( a_{۳}-b_{۳} \right )$  زوج است.

پ) اگر تابع  $f$در $x=a$ پیوسته ولی $g$ در  $x=a$ ناپیوسته باشد، تابع  $f+g$ در $x=a$ ناپیوسته است.

ت) اگر $a$ یک عدد حقیقی مثبت باشد آنگاه  $a+\frac{۱}{a}\geq ۲$  .