حجم مایع داخل حفره کره

راهنمایی کوتاه: ابتدا حجم کل کره فلزی را حساب می‌کنیم، سپس با استفاده از جرم کل و چگالی‌ها، حجم حفره را پیدا می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) حجم کل کره کامل (بدون حفره) با شعاع ۴ سانتی‌متر:
  $V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \times 4^3=\frac{4}{3}\pi \times 64=\frac{256}{3}\pi {\text{cm}}^3$
• ۲) جرم فلز اگر کره توپر بود:
  $m_{\text{فلز کامل}}=\rho V=2\times \frac{256}{3}\pi =\frac{512}{3}\pi \text{g}$
• ۳) فرض می‌کنیم حجم حفره = $x$ سانتی‌متر مکعب. پس حجم فلز واقعی = $\frac{256}{3}\pi -x$
• ۴) جرم فلز واقعی = چگالی فلز × حجم فلز واقعی = $2\times (\frac{256}{3}\pi -x)$
• ۵) جرم مایع داخل حفره = چگالی مایع × حجم حفره = $6x$
• ۶) جرم کل = جرم فلز واقعی + جرم مایع = ۵۲۲ گرم. پس:
  $2(\frac{256}{3}\pi -x)+6x=522$
• ۷) حل معادله:
  $\frac{512}{3}\pi -2x+6x=522$
  $\frac{512}{3}\pi +4x=522$
  $4x=522-\frac{512}{3}\pi$
  با تقریب $\pi \approx 3.14$:
  $\frac{512}{3}\pi \approx \frac{512}{3}\times 3.14\approx 535.89$
  این مقدار از ۵۲۲ بیشتر است که نشان می‌دهد چگالی فلز در صورت مسئله احتمالاً بر حسب گرم بر سانتی‌متر مکعب است (نه گرم بر متر مکعب). اگر چگالی فلز = ۲ گرم بر سانتی‌متر مکعب باشد:
  $\frac{512}{3}\pi \approx 535.89$ و معادله $535.89+4x=522$ جواب منطقی نمی‌دهد (x منفی می‌شود).
• ۸) احتمالاً در صورت مسئله چگالی فلز ۲ گرم بر سانتی‌متر مکعب منظور بوده. با این فرض، حجم حفره از معادله:
  $2(\frac{256}{3}\pi -x)+6x=522$
  $\frac{512}{3}\pi -2x+6x=522$
  $4x=522-\frac{512}{3}\pi$
  با $\pi \approx 3.14$:
  $4x\approx 522-535.89=-13.89$ → این غیرممکن است. پس احتمالاً عدد ۵۲۲ مربوط به جرم فلز کامل است؟ یا چگالی‌ها متفاوت است؟

پاسخ نهایی: با توجه به تناقض عددی (جرم فلز کامل ≈۵۳۶ گرم از ۵۲۲ بیشتر است)، احتمالاً در صورت مسئله اشتباه تایپی وجود دارد (مثلاً چگالی فلز کمتر است یا شعاع متفاوت است). اگر چگالی فلز را ۰.۲ گرم بر سانتی‌متر مکعب فرض کنیم، محاسبه درست می‌شود. برای حل دقیق‌تر، لطفاً اعداد را دوباره بررسی کن.

مثال مشابه: کره‌ای به شعاع ۵ سانتی‌متر از فلزی با چگالی ۳ گرم بر سانتی‌متر مکعب داریم. اگر حجم حفره ۱۰ سانتی‌متر مکعب باشد و با مایع چگالی ۵ گرم بر سانتی‌متر مکعب پر شود، جرم کل چقدر است؟

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: مفهوم چگالی، حجم کره و ترکیب جرم‌ها را مرور کن. مسئله را با اعداد ساده‌تر تمرین کن تا روش کار را کامل بفهمی.