مقایسه چگالی دو ماده در کره و استوانه

کره تو پری به شعاع R از مادهA داریم که جرمش ۲ برابر استوانه ای به شعاع داخلی R دوم و شعاع خارجیR از ماده B است اگر ارتفاع استوانه برابر دو سومR باشد چگاای کاده A چند برابر چگالی مادهB است؟

کاربر مهمان

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

راهنمایی کوتاه: با استفاده از فرمول‌های حجم و جرم، نسبت چگالی‌ها را پیدا می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

حجم کره از ماده A: $V_{A} = \frac{4}{3} π R^{3}$
حجم استوانه‌ی توخالی از ماده B: شعاع داخلی = R، شعاع خارجی = R (اما این یعنی استوانه توخالی با ضخامت صفر؟ احتمالاً منظور شعاع داخلی R و شعاع خارجی 2R است. چون سوال می‌گوید «شعاع داخلی R دوم» یعنی R دوم = 2R؟ معمولاً در این سوالات شعاع خارجی 2R در نظر گرفته می‌شود. من فرض می‌کنم شعاع داخلی = R و شعاع خارجی = 2R و ارتفاع = $\frac{2}{3} R$ .
حجم استوانه توخالی: $V_{B} = π h (R_{o u t e r}^{2} - R_{i n n e r}^{2}) = π (\frac{2}{3} R) ((2 R)^{2} - R^{2}) = π (\frac{2}{3} R) (4 R^{2} - R^{2}) = π (\frac{2}{3} R) (3 R^{2}) = 2 π R^{3}$
جرم کره: $m_{A} = ρ_{A} V_{A} = ρ_{A} (\frac{4}{3} π R^{3})$
جرم استوانه: $m_{B} = ρ_{B} V_{B} = ρ_{B} (2 π R^{3})$
طبق سوال: جرم کره = ۲ × جرم استوانه → $m_{A} = 2 m_{B}$
پس: $ρ_{A} (\frac{4}{3} π R^{3}) = 2 \times ρ_{B} (2 π R^{3})$
ساده‌سازی: $ρ_{A} \times \frac{4}{3} = 4 ρ_{B}$ → $ρ_{A} = 3 ρ_{B}$

پاسخ نهایی: چگالی ماده A سه برابر چگالی ماده B است.

مثال مشابه: اگر کره‌ای به شعاع ۲ سانتی‌متر از ماده‌ای داشته باشیم و استوانه‌ای توخالی با شعاع داخلی ۲ و خارجی ۴ سانتی‌متر و ارتفاع ۴/۳ سانتی‌متر از ماده دیگر، و جرم کره دو برابر جرم استوانه باشد، باز هم نسبت چگالی‌ها ۳ به ۱ می‌شود.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی تمرین کنی که اگر ارتفاع استوانه را تغییر دهیم یا نسبت جرم‌ها عوض شود، چگونه نسبت چگالی تغییر می‌کند. همچنین دقت کن که در سوال «شعاع داخلی R دوم» ممکن است به معنای 2R باشد.