سوال از رياضي دهم موضوع شمارش

پاسخ مسئله

برای اینکه عددی مضرب ۶ باشد، باید هم مضرب ۲ و هم مضرب ۳ باشد. برای اینکه عددی مضرب ۲ باشد، باید رقم یکان آن زوج باشد. در اینجا رقم یکان باید ۲ یا ۴ باشد. برای اینکه عددی مضرب ۳ باشد، باید مجموع ارقام آن مضرب ۳ باشد.

از آنجا که فقط می‌توانیم از دو رقم ۲ و ۴ استفاده کنیم، برای اینکه مجموع ارقام مضرب ۳ باشد، باید تعداد رقم ۲ و ۴ به گونه‌ای باشد که مجموعشان مضرب ۳ شود.

اعداد ۷ رقمی می‌توانند به صورت‌های زیر باشند:

• ۴ رقم ۲ و ۳ رقم ۴ (مجموع = ۸+۱۲ = ۲۰ که مضرب ۳ نیست)
• ۳ رقم ۲ و ۴ رقم ۴ (مجموع = ۶+۱۶ = ۲۲ که مضرب ۳ نیست)
• ۵ رقم ۲ و ۲ رقم ۴ (مجموع = ۱۰+۸ = ۱۸ که مضرب ۳ هست)
• ۲ رقم ۲ و ۵ رقم ۴ (مجموع = ۴+۲۰ = ۲۴ که مضرب ۳ هست)

پس دو حالت قابل قبول است: ۵ تا ۲ و ۲ تا ۴ یا ۲ تا ۲ و ۵ تا ۴.

برای حالت اول (۵ رقم ۲ و ۲ رقم ۴):

• ابتدا ۵ رقم ۲ و ۲ رقم ۴ را در ۷ جایگاه قرار می‌دهیم. تعداد حالات چینش ۲ و ۴ برابر است با $\frac{\mathrm{7!}}{\mathrm{5!}\times \mathrm{2!}}$ که برابر ۲۱ می‌شود.
• از بین این چینش‌ها، باید آن‌هایی که رقم یکانشان ۲ است را حذف کنیم. اگر ۲ را در یکان ثابت کنیم، ۴ تا ۲ و ۲ تا ۴ در ۶ جایگاه باقی می‌مانند که تعداد حالات برابر است با $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{4!}\times \mathrm{2!}}$ که برابر ۱۵ می‌شود.
• پس تعداد اعداد با ۵ رقم ۲ و ۲ رقم ۴ که رقم یکانشان ۴ است برابر است با ۲۱ - ۱۵ = ۶

برای حالت دوم (۲ رقم ۲ و ۵ رقم ۴):

• به طور مشابه، تعداد کل حالات چینش ۲ و ۴ برابر است با $\frac{\mathrm{7!}}{\mathrm{2!}\times \mathrm{5!}}$ که برابر ۲۱ می‌شود.
• تعداد حالات با رقم یکان ۲ برابر است با $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{1!}\times \mathrm{5!}}$ که برابر ۶ است.
• پس تعداد اعداد با ۲ رقم ۲ و ۵ رقم ۴ که رقم یکانشان ۴ است برابر است با ۲۱ - ۶ = ۱۵

جمع کل اعداد هفت رقمی مضرب ۶ با رقم‌های ۲ و ۴ برابر است با ۶ + ۱۵ = ۲۱

یادآوری ایمنی: در انجام محاسبات ریاضی دقت لازم را داشته باشید.