جزء کامل مجموعه‌های متناهی و نامتناهی

راهنمایی کوتاه: هر مجموعه، خودش هم یکی از جزءهای (زیرمجموعه‌های) خودش است و به آن «جزء کامل» می‌گوییم.

گام‌به‌گام:

۱) جزء یا زیرمجموعه چیست؟ اگر هر عضو A داخل B باشد، می‌گوییم A جزءِ B است و می‌نویسیم $A\subseteq B$.

۲) جزء کامل (زیرمجموعه غیرسره): حالتی که A با B برابر است، یعنی $A=B$. پس هر مجموعه جزء کامل خودش است.

۳) جزء حقیقی (ناقص یا سره): A جزءِ B است ولی با آن برابر نیست، یعنی $A\ne B$. نمونه: $\{1,2\}$ جزء حقیقی $\{1,2,3\}$ است.

۴) مجموعه تهی جزءِ همهٔ مجموعه‌ها است؛ برای هر مجموعهٔ ناتهی، جزء حقیقی به شمار می‌آید.

۵) مجموعهٔ متناهی: اگر مجموعه‌ای n عضو داشته باشد، تعداد همهٔ جزءها (با احتساب جزء کامل و تهی) برابر $2^n$ و تعداد جزءهای حقیقی برابر $2^n-1$ است.

۶) مجموعهٔ نامتناهی: تعداد جزءهایش نامتناهی است و شگفت‌آور اینکه یک جزء حقیقی می‌تواند «هم‌اندازه» خود مجموعه باشد.

پاسخ نهایی: کوچک‌ترین جزء هر مجموعه، مجموعهٔ تهی است؛ بزرگ‌ترین جزء آن، خودِ مجموعه است که به آن «جزء کامل» می‌گویند؛ و بقیهٔ جزءها «جزء حقیقی» هستند. برای مجموعهٔ متناهی با n عضو، شمار جزءهای حقیقی $2^n-1$ است.

مثال مشابه:

• متناهی: مجموعه $\{1,2,3\}$ هشت جزء دارد: تهی، $\left\{1\right\}$، $\left\{2\right\}$، $\left\{3\right\}$، $\{1,2\}$، $\{1,3\}$، $\{2,3\}$ و خودِ $\{1,2,3\}$ که جزء کامل است؛ پس ۷ جزء حقیقی داریم.
• نامتناهی: مجموعهٔ اعداد طبیعی، جزء حقیقی مجموعهٔ اعداد صحیح است. هم‌چنین اعداد زوج، جزء حقیقی اعداد طبیعی‌اند، اما با نسبت $n\leftrightarrow 2n$ می‌توانیم آن‌ها را یک‌به‌یک به هم متناظر کنیم؛ یعنی هماندازه‌اند.

تمرین کوتاه: تعداد جزءهای حقیقی مجموعه $\{a,b,c,d\}$ چند است؟ ۴ / ۸ / ۱۵ / ۱۶

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: مجموعهٔ همهٔ جزءهای یک مجموعه را «مجموعهٔ توانی» می‌نامند؛ تعداد اعضای آن برای مجموعه‌ای با n عضو برابر $2^n$ است. می‌توانی برای مجموعه‌های با ۱ تا ۵ عضو این عددها را حساب کنی و الگو را ببینی.