الگوهای خطی و غیرخطی و دنباله

راهنمایی کوتاه: الگوی خطی با افزودن یا کم‌کردن یک عدد ثابت ساخته می‌شود؛ الگوی غیرخطی این گام ثابت را ندارد و دنباله یعنی فهرست منظم اعداد با یک قاعده.

گام‌به‌گام:

۱) دنباله را بنویس و جمله‌ها را با $a_1$، $a_2$ و ... نشان بده.

۲) تفاضل جمله‌های پشت‌سرهم را حساب کن. اگر همیشه یک عدد ثابت باشد، الگو خطی است؛ آن عدد را $d$ می‌نامیم.

۳) برای الگوی خطی، جملهٔ عمومی را از رابطهٔ $a_n=a_1+(n-1)d$ به دست بیاور.

۴) اگر تفاضل‌ها ثابت نبودند، الگو غیرخطی است. مثلاً اگر هر جمله در یک عدد ثابت ضرب شود، دنبالهٔ هندسی داریم و جملهٔ عمومی چنین است: $a_n=a_1\times r^{n-1}$.

۵) برای تشخیص سریع، جدول تفاضل‌ها یا نسبت‌ها را بساز و نمودار را نگاه کن: خطی معمولاً خط راست می‌دهد، غیرخطی خمیده است.

پاسخ نهایی:

دنباله فهرستی از اعداد با ترتیب مشخص است. الگوی خطی تغییرات ثابت دارد و با دنبالهٔ حسابی نشان داده می‌شود؛ الگوی غیرخطی تغییرات ثابت ندارد و می‌تواند مثل دنبالهٔ هندسی یا الگوی مربعی باشد.

مثال مشابه:

در دنبالهٔ ۳، ۷، ۱۱، ۱۵، ... تفاضل‌ها همیشه ۴ است؛ پس خطی است و جملهٔ عمومی برابر است با $a_n=3+(n-1)\times 4=4n-1$.

در دنبالهٔ ۲، ۴، ۸، ۱۶، ... نسبت‌ها ثابت و برابر ۲ است؛ پس غیرخطی (هندسی) است و جملهٔ عمومی برابر است با $a_n=2\times 2^{n-1}=2^n$.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: یک دنبالهٔ دلخواه بنویس، تفاضل‌هایش را حساب کن و حدس بزن خطی است یا غیرخطی؛ بعد قاعدهٔ جملهٔ عمومی را بساز.