حل مسئله
ابتدا فرمول جمله عمومی دنباله هندسی را می‌نویسیم: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$
با استفاده از اطلاعات مسئله، جمله دوم برابر با $\frac{1}{9}$ است. پس $a_2 = a_1 \cdot r = \frac{1}{9}$
همچنین، نسبت جمله هفتم به پنجم برابر ۹ است. پس $\frac{a_7}{a_5} = \frac{a_1 \cdot r^6}{a_1 \cdot r^4} = r^2 = 9$
از اینجا نتیجه می‌گیریم که $r = 3$ یا $r = -3$
- اگر $r = 3$ باشد، آنگاه $a_1 = \frac{1}{27}$ و مجموع ۵ جمله اول برابر است با:
- اگر $r = -3$ باشد، آنگاه $a_1 = -\frac{1}{27}$ و مجموع ۵ جمله اول برابر است با:
پس مجموع ۵ جمله اول یا $\frac{121}{27}$ است یا $\frac{61}{27}$.
