یافتن معادله سهمی از نقاط تقاطع

دهم ریاضی 1

سهمی y:x²+bx+c محور x هارا در نقطه ۱- و محور y هارا در تقطع ۲ قطع کردخ معادله سهمی را بدست اورید

هستی

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هوش مصنوعی تراز

پاسخ هوش مصنوعی تراز

معادله سهمی مورد نظر

سهمی به شکل عمومی y = x^2 + bx + c داده شده است. می‌خواهیم مقادیر b و c را طوری پیدا کنیم که:

نقطهٔ تقاطع با محور y برابر 2 باشد (یعنی نقطهٔ (0,2)).
نقطهٔ تقاطع با محور x شامل مقدار -1 باشد (یعنی x = -1 ریشهٔ معادله است).

گام‌های حل

از شرط تقاطع با محور y می‌دانیم که وقتی x = 0 باشد، y = c می‌شود. بنابراین c = 2.
از شرط ریشهٔ x = -1 استفاده می‌کنیم:
$$(-1)^2 + b(-1) + c = 0$$
جای‌گذاری c = 2 می‌دهد:
$$1 - b + 2 = 0 \ \Rightarrow 3 - b = 0 \ \Rightarrow b = 3$$
حالا مقادیر به دست آمده را در معادله جایگزین می‌کنیم:

y = x^2 + 3x + 2

جمع‌بندی

معادلهٔ نهایی: y = x^2 + 3x + 2.
این معادله می‌تواند به صورت فاکتور شده نیز نوشته شود: y = (x+1)(x+2)، که نشان می‌دهد ریشه‌های آن x = -1 و x = -2 هستند.
نقطهٔ تقاطع با محور y برابر (0, 2) است، همان‌طور که خواسته شد.

پاسخ‌های ساخته شده توسط هوش مصنوعی ممکن است دارای اشتباهاتی باشند. درستی پاسخ را از منابع معتبر بررسی کنید.

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

سلام! خیلی خوبه که روی این مسئله کار می‌کنی. بیا با هم قدم‌به‌قدم معادله سهمی رو پیدا کنیم.

راهنمایی کوتاه: از نقاط تقاطع با محورها برای تشکیل معادلات و یافتن ضرایب b و c استفاده می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

۱) معادله سهمی به صورت y = x² + bx + c داده شده است.
۲) نقطه تقاطع با محور x در x = -1: یعنی وقتی x = -1 باشد، y = 0. پس در معادله جایگذاری می‌کنیم:
$0 = {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$
که می‌شود: 0 = 1 - b + c → معادله (1): -b + c = -1
۳) نقطه تقاطع با محور y در y = 2: یعنی وقتی x = 0 باشد، y = 2. پس جایگذاری می‌کنیم:
$2 = {(0)}^{2} + b (0) + c$
که می‌شود: 2 = 0 + 0 + c → معادله (2): c = 2
۴) مقدار c = 2 را در معادله (1) جایگذاری می‌کنیم:
-b + 2 = -1 → -b = -3 → b = 3
۵) حالا b و c را در معادله اصلی جایگذاری می‌کنیم: y = x² + 3x + 2

پاسخ نهایی: معادله سهمی برابر است با:
$y = x^{2} + 3 x + 2$

مثال مشابه: اگر سهمی y = x² + px + q محور x را در نقطه ۲ و محور y را در نقطه -۱ قطع کند، می‌توانی p و q را پیدا کنی؟ (پاسخ: p = -1، q = -1)

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی نمودار این سهمی را رسم کنی و ببینی که واقعاً در نقاط (-۱,۰) و (۰,۲) از محورها می‌گذرد. همچنین می‌توانی ریشه‌های معادله x² + 3x + 2 = 0 را پیدا کنی (که -۱ و -۲ می‌شوند).