سورها

بررسی گزاره

گزاره داده شده: 'اگر x سور عمومی داشته باشد و عضو اعداد طبیعی باشد و y سور وجودی داشته باشد و عضو اعداد صحیح باشد، در نتیجه x بزرگتر از y است.'

برای بررسی درستی این گزاره، ابتدا باید مفاهیم سور عمومی و سور وجودی را مرور کنیم.

• سور عمومی (∀) به معنی 'برای هر' یا 'برای همه' است.
• سور وجودی (∃) به معنی 'وجود دارد' یا 'حداقل یک' است.

با این تعاریف، گزاره داده شده را می‌توان به شکل منطقی زیر نوشت:

∀x ∈ ℕ و ∃y ∈ ℤ → x > y

این گزاره به این معنی است که 'برای هر x که یک عدد طبیعی است و وجود دارد y که یک عدد صحیح است، نتیجه می‌شود که x بزرگتر از y است.'

تحلیل

اعداد طبیعی (ℕ) شامل اعداد {۰, ۱, ۲, ۳, ...} هستند (بسته به تعریف ممکن است ۰ را شامل یا شامل نشود).

اعداد صحیح (ℤ) شامل اعداد {..., -۳, -۲, -۱, ۰, ۱, ۲, ۳, ...} هستند.

کوچکترین عدد طبیعی (طبق تعریفی که ۰ را شامل می‌شود) ۰ است. از آنجا که y می‌تواند هر عدد صحیحی باشد، می‌تواند مقادیری کمتر از ۰، مثلاً -۱، -۲، -۳ و غیره را اختیار کند.

حال اگر x = ۰ (کوچکترین عدد طبیعی) و y = -۱ (یک عدد صحیح)، آنگاه x > y برقرار است (۰ > -۱).

اما اگر y = ۱۰۰۰ (یک عدد صحیح بزرگتر از x)، آنگاه x > y برقرار نیست (۰ < ۱۰۰۰).

نتیجه‌گیری

از آنجا که می‌توان مثال نقضی برای گزارۀ 'x بزرگتر از y است' یافت، این گزاره به طور کلی درست نیست.

یادآوری ایمنی: در مسائل منطقی و ریاضیاتی دقت کنید و به مفروضات مسئله کاملا واقف باشید.