راهنمایی کوتاه: از برهان خلف استفاده میکنیم و فرض میکنیم n مضرب ۳ نیست.
گامبهگام:
- ۱) فرض مسئله: n یک عدد صحیح است و n² مضرب ۳ است (یعنی n² بر ۳ بخشپذیر است).
- ۲) میخواهیم ثابت کنیم n نیز مضرب ۳ است (یعنی n بر ۳ بخشپذیر است).
- ۳) برای اثبات از برهان خلف استفاده میکنیم: فرض میکنیم n مضرب ۳ نیست.
- ۴) اگر n مضرب ۳ نباشد، باقیمانده تقسیم n بر ۳ یا ۱ است یا ۲.
- ۵) حالت اول: اگر باقیمانده ۱ باشد، n = 3k + 1 (k عددی صحیح). پس n² = (3k + 1)² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k² + 2k) + ۱. میبینیم n² بر ۳ بخشپذیر نیست (باقیمانده ۱ دارد).
- ۶) حالت دوم: اگر باقیمانده ۲ باشد، n = 3k + 2. پس n² = (3k + 2)² = 9k² + 12k + 4 = 3(3k² + 4k + 1) + ۱. باز هم n² بر ۳ بخشپذیر نیست (باقیمانده ۱ دارد).
- ۷) در هر دو حالت، به تناقض میرسیم چون فرض کردیم n² مضرب ۳ است. پس فرض خلف غلط است و n باید مضرب ۳ باشد.
پاسخ نهایی: با استفاده از برهان خلف ثابت شد که اگر n² مضرب ۳ باشد، آنگاه n نیز مضرب ۳ است.
مثال مشابه: ثابت کنید اگر n² مضرب ۵ باشد، آنگاه n نیز مضرب ۵ است. (میتوانید با بررسی باقیماندههای ۰، ۱، ۲، ۳، ۴ هنگام تقسیم بر ۵ اثبات کنید.)
اگر میخواهی بیشتر یاد بگیری: این ایده در نظریه اعداد کاربرد زیادی دارد و به خاصیت اعداد اول مربوط میشود. میتوانی درباره قضیه اساسی حساب و اعداد اول بیشتر مطالعه کنی.
