اثبات مضرب ۳ بودن n از روی n²

یازدهم آمار و احتمال

ثابت کنید هرگاه n عددی صحیح و n به توان ۲ ،مضرب ۳ باشد ، آنگاه n نیز مضرب ۳ است

کاربر مهمان

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

سلام! سوال جالبی مطرح کردی. می‌خواهیم ثابت کنیم که اگر n² مضرب ۳ باشد، آنگاه n هم باید مضرب ۳ باشد. این یک مسئله‌ی منطقی در ریاضیات است.

راهنمایی کوتاه: از روش برهان خلف استفاده می‌کنیم و حالت‌های ممکن برای باقی‌مانده‌ی تقسیم n بر ۳ را بررسی می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

۱) فرض می‌کنیم n عددی صحیح است و n² مضرب ۳ است (یعنی n² بر ۳ بخش‌پذیر است).
۲) می‌خواهیم ثابت کنیم n هم باید مضرب ۳ باشد. برای این کار از برهان خلف استفاده می‌کنیم: فرض می‌کنیم n مضرب ۳ نیست.
۳) اگر n مضرب ۳ نباشد، آنگاه باقی‌مانده‌ی تقسیم آن بر ۳ یا ۱ است یا ۲. یعنی n می‌تواند به یکی از این دو شکل باشد:
$n = 3 k + 1$ یا $n = 3 k + 2$ (که k یک عدد صحیح است).
۴) حالت اول: اگر $n = 3 k + 1$ ، آنگاه:
$n^{2} = {(3 k + 1)}^{2} = 9 k^{2} + 6 k + 1 = 3 (3 k^{2} + 2 k) + 1$
می‌بینیم که n² هم به شکل ۳×(یک عدد صحیح)+۱ است، پس بر ۳ بخش‌پذیر نیست.
۵) حالت دوم: اگر $n = 3 k + 2$ ، آنگاه:
$n^{2} = {(3 k + 2)}^{2} = 9 k^{2} + 12 k + 4 = 3 (3 k^{2} + 4 k + 1) + 1$
این هم به شکل ۳×(یک عدد صحیح)+۱ است، پس باز هم بر ۳ بخش‌پذیر نیست.
۶) در هر دو حالتی که فرض کردیم n مضرب ۳ نیست، به نتیجه رسیدیم که n² مضرب ۳ نیست. این با فرض اولیه (که n² مضرب ۳ است) در تناقض است. پس فرض خلف ما غلط است.

پاسخ نهایی: بنابراین، تنها حالت ممکن این است که n خودش مضرب ۳ باشد. پس اگر n² بر ۳ بخش‌پذیر باشد، n حتماً بر ۳ بخش‌پذیر است.

مثال مشابه: عدد ۶ را در نظر بگیر. ۶ مضرب ۳ است (۶=۳×۲). مربع آن ۳۶ است که مضرب ۳ است (۳۶=۳×۱۲). حالا عددی مثل ۴ را در نظر بگیر که مضرب ۳ نیست. مربع آن ۱۶ است که بر ۳ بخش‌پذیر نیست (۱۶ تقسیم بر ۳ می‌شود ۵ و باقی‌مانده ۱).

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: این روش برهان خلف در بسیاری از مسائل نظریه اعداد کاربرد دارد. می‌توانی سعی کنی برای اعداد دیگر مثل ۵ یا ۷ هم این موضوع را بررسی کنی: آیا اگر n² مضرب ۵ باشد، لزوماً n مضرب ۵ است؟