نوشتن گزاره‌ها با نمادهای ∀ و ∃

راهنمایی کوتاه: در این تمرین، گزاره‌های ریاضی را با نمادهای «برای هر» (∀) و «وجود دارد» (∃) می‌نویسیم و درستی یا نادرستی آن‌ها را بررسی می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) ابتدا هر گزاره را به زبان ریاضی و با نمادهای منطقی بازنویسی می‌کنیم.
• ۲) سپس ارزش (درستی یا نادرستی) هر گزاره را بررسی می‌کنیم.
• ۳) برای بررسی درستی، به تعریف اعداد طبیعی، زوج و فرد، و ویژگی‌های توان و مربع توجه می‌کنیم.
• ۴) در گزاره‌هایی که از «وجود دارد» (∃) استفاده می‌کنیم، باید حداقل یک مثال پیدا کنیم که گزاره را درست کند.
• ۵) در گزاره‌هایی که از «برای هر» (∀) استفاده می‌کنیم، باید مطمئن شویم برای همهٔ موارد گزاره درست است.

پاسخ نهایی:

• الف) نمادگذاری: $\forall n\in \mathbb{N},\left(n\text{زوج است}\right)\vee \left(n\text{فرد است}\right)$. این گزاره درست است. دلیل: هر عدد طبیعی یا بر ۲ بخش‌پذیر است (زوج) یا بر ۲ بخش‌پذیر نیست (فرد).
• ب) نمادگذاری: $\exists x\in ℝ,x^3=-x$. این گزاره درست است. دلیل: معادله $x^3=-x$ را حل می‌کنیم: $x^3+x=0$ → $x(x^2+1)=0$. جواب‌ها: $x=0$. پس حداقل یک عدد (مثلاً ۰) وجود دارد که گزاره را درست می‌کند.
• پ) نمادگذاری: $\forall n\in \mathbb{N},n<n^2$. این گزاره نادرست است. دلیل: برای $n=1$ داریم: $1<1^2=1$ که نادرست است (۱ از ۱ کوچکتر نیست). پس این گزاره برای همهٔ اعداد طبیعی درست نیست.

مثال مشابه: گزاره «هر عدد صحیح مثبت بزرگ‌تر از ۱ است» را در نظر بگیرید. نمادگذاری: $\forall n\in \mathbb{Z},n>0\Rightarrow n>1$. این گزاره نادرست است، چون برای $n=1$ (که مثبت است) شرط $n>1$ برقرار نیست.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن گزاره‌های دیگری مانند «هر عدد حقیقی مربع نامنفی دارد» یا «عددی طبیعی وجود دارد که هم زوج است و هم فرد» را با نمادهای ∀ و ∃ بنویسی و درستی آن‌ها را بررسی کنی. این کار به درک بهتر منطق ریاضی کمک می‌کند.

راهنمایی کوتاه: در این تمرین باید گزاره‌های فارسی را با نمادهای ریاضی «برای هر» (∀) و «وجود دارد» (∃) بنویسیم و درستی یا نادرستی هر گزاره را بررسی کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) ابتدا هر گزاره را به زبان ریاضی ترجمه می‌کنیم.
• ۲) از نماد ∀ برای «هر» یا «همه» استفاده می‌کنیم.
• ۳) از نماد ∃ برای «بعضی» یا «حداقل یک» استفاده می‌کنیم.
• ۴) سپس با یک مثال یا دلیل منطقی، ارزش درستی (صحت) گزاره را مشخص می‌کنیم.
• ۵) دقت کنیم که دامنه اعداد طبیعی (N = {1, 2, 3, ...}) است.

پاسخ نهایی:

• الف) هر عدد طبیعی زوج یا فرد است.
  نوشتن با نماد: $\forall n\in \mathbb{N},\left(n\text{زوج است}\right)\vee \left(n\text{فرد است}\right)$
  ارزش گزاره: درست.
  دلیل: در اعداد طبیعی، هر عدد یا بر ۲ بخش‌پذیر است (زوج) یا نیست (فرد). هیچ عدد طبیعی دیگری وجود ندارد.
• ب) به ازای بعضی از مقادیر داریم: $x^3=-x$
  نوشتن با نماد: $\exists x\in ℝ,x^3=-x$ (فرض می‌کنیم دامنه اعداد حقیقی است)
  ارزش گزاره: درست.
  دلیل: معادله $x^3+x=0$ را حل می‌کنیم: $x(x^2+1)=0$. جواب‌ها $x=0$ است (و دو ریشه موهومی). پس حداقل یک عدد حقیقی (صفر) وجود دارد که گزاره را برقرار می‌کند.
• پ) هر عدد طبیعی از مربع خودش کوچکتر است.
  نوشتن با نماد: $\forall n\in \mathbb{N},n<n^2$
  ارزش گزاره: نادرست.
  دلیل: برای $n=1$ داریم: $1<1^2\Rightarrow 1<1$ که نادرست است (۱ مساوی ۱ است، نه کوچکتر). پس گزاره برای همه اعداد طبیعی برقرار نیست.

مثال مشابه: گزاره «هر عدد حقیقی مثبت است» را با نماد بنویسید و ارزش آن را مشخص کنید.
نوشتن: $\forall x\in ℝ,x>0$
ارزش: نادرست، زیرا اعداد منفی (مثل ۲-) وجود دارند.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن گزاره‌های روزمره را با نمادهای ∀ و ∃ بنویسی. مثلاً «همه پرندگان پرواز می‌کنند» یا «بعضی از دانش‌آموزان عینک می‌زنند». سپس درستی آن‌ها را بررسی کن.