حل مسئله
برای حل این مسئله، ابتدا باید مجموع n جمله اول هر یک از دنباله‌های حسابی را با استفاده از فرمول مربوطه محاسبه کنیم.
فرض کنیم سه دنباله حسابی با جمله اول 1 و قدر نسبت‌های 1، 2 و 3 داریم. مجموع n جمله اول هر دنباله به ترتیب $S_{1n}$، $S_{2n}$ و $S_{3n}$ است.
- $S_{1n} = \frac{n(n+1)}{2}$
- $S_{2n} = n + \frac{n(n-1)}{2} \times 2 = n^{2}$
- $S_{3n} = n + \frac{n(n-1)}{2} \times 3 = \frac{n(3n-1)}{2}$
حالا باید ثابت کنیم که $S_{1n}$، $S_{2n}$ و $S_{3n}$ خودشان یک دنباله حسابی را تشکیل می‌دهند.
برای این کار، باید اختلاف بین جملات متوالی را محاسبه کنیم:
- $S_{1(n+1)} - S_{1n} = \frac{(n+1)(n+2)}{2} - \frac{n(n+1)}{2} = n+1$
- $S_{2(n+1)} - S_{2n} = (n+1)^{2} - n^{2} = 2n + 1$
- $S_{3(n+1)} - S_{3n} = \frac{(n+1)(3n+2)}{2} - \frac{n(3n-1)}{2} = 3n + 1$
همانطور که مشاهده می‌شود، اختلاف بین جملات متوالی در هر سه دنباله، یک دنباله حسابی با قدر نسبت‌های 1، 2 و 3 را تشکیل می‌دهد.
پس ثابت شد که $S_{1n}$، $S_{2n}$ و $S_{3n}$ خودشان یک دنباله حسابی را تشکیل می‌دهند.
