برای اثبات این گزاره، باید دو جهت را بررسی کنیم: اول، اگر $A \subseteq B$ باشد، آنگاه $A \cup B = B$؛ دوم، اگر $A \cup B = B$ باشد، آنگاه $A \subseteq B$.
راهنمایی کوتاه: ابتدا فرض کنیم $A \subseteq B$ و نشان دهیم $A \cup B = B$. سپس فرض کنیم $A \cup B = B$ و نتیجه بگیریم $A \subseteq B$.
- گامبهگام:
۱) فرض کنیم $A \subseteq B$. یعنی هر عضو $A$ در $B$ نیز هست.
۲) برای هر $x \in A \cup B$، دو حالت وجود دارد: یا $x \in A$ یا $x \in B$. اگر $x \in A$ و چون $A \subseteq B$، پس $x \in B$. بنابراین در هر دو حالت، $x \in B$.
۳) پس $A \cup B \subseteq B$. از طرفی چون $B \subseteq A \cup B$ همیشه درست است، نتیجه میگیریم $A \cup B = B$.
۴) حالا فرض کنیم $A \cup B = B$. میخواهیم نشان دهیم $A \subseteq B$.
۵) برای هر $x \in A$، داریم $x \in A \cup B$. چون $A \cup B = B$، پس $x \in B$. بنابراین $A \subseteq B$.
پاسخ نهایی: با اثبات دو جهت، گزاره $A \subseteq B \Longleftrightarrow A \cup B = B$ اثبات شد.
مثال مشابه: بررسی گزارههای مشابه مانند $A \cap B = A \Longleftrightarrow A \subseteq B$.
