رسم نمودار فرآیند تراکم بی‌دررو

راهنمایی کوتاه: برای رسم نمودار p-V این فرآیند، باید بدانیم که در تراکم بی‌دررو (آدیاباتیک) رابطه‌ی خاصی بین فشار و حجم برقرار است.

گام‌به‌گام:

• ۱) ابتدا نوع فرآیند را مشخص می‌کنیم: «تراکم بی‌دررو» یعنی فرآیندی که در آن هیچ تبادل گرمایی با محیط بیرون رخ نمی‌دهد (Q=0). این فرآیند، آدیاباتیک نامیده می‌شود.
• ۲) برای یک گاز ایده‌آل در فرآیند آدیاباتیک، رابطه‌ی مهم زیر برقرار است:
  $P{V}^{\gamma }=\text{ثابت}$
  که در آن γ (گاما) نسبت ظرفیت‌های گرمایی مولی است (برای هوا تقریباً ۱.۴).
• ۳) با توجه به صورت مسئله: حجم اولیه V₁ = 250 (واحد مشخص نشده، ولی مهم نیست برای رسم نمودار). حجم نهایی V₂ = V₁/10 = 25. فشار اولیه P₁ = 1 اتمسفر.
• ۴) از رابطه‌ی آدیاباتیک استفاده می‌کنیم تا فشار نهایی را پیدا کنیم:
  $P_1{V}_1^{\gamma }=P_2{V}_2^{\gamma }$
  پس:
  $P_2=P_1{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma }=1\times {\left(\frac{250}{25}\right)}^{1.4}={10}^{1.4}\approx 25.1\text{اتمسفر}$
• ۵) برای رسم نمودار: محور افقی حجم (V) و محور عمودی فشار (P) است. منحنی از نقطه‌ی (V₁=250, P₁=1) شروع می‌شود و به نقطه‌ی (V₂=25, P₂≈25.1) ختم می‌شود. منحنی یک منحنی نمایی (از نوع $P=\text{ثابت}/V^{\gamma }$) است که به سمت بالا و چپ (حجم کم، فشار زیاد) می‌رود. شیب این منحنی از شیب یک هم‌دما (ایزوترم) در همان نقطه تندتر است.
• ۶) روی نمودار، محورها را نام‌گذاری کرده و نقاط شروع و پایان را مشخص کنید. می‌توانید برچسب «فرآیند بی‌دررو (آدیاباتیک)» را روی منحنی بنویسید.

پاسخ نهایی: نمودار p-V این فرآیند، یک منحنی نمایی است که از نقطه‌ی (حجم=۲۵۰، فشار=۱ اتمسفر) شروع شده و به نقطه‌ی (حجم=۲۵، فشار≈۲۵.۱ اتمسفر) ختم می‌شود. این منحنی نشان‌دهنده‌ی رابطه‌ی $P{V}^{1.4}=\text{ثابت}$ است.

مثال مشابه: اگر همین هوا به جای ۱/۱۰، تا ۱/۵ حجم اولیه فشرده می‌شد، فشار نهایی تقریباً $5^{1.4}\approx 9.5$ اتمسفر می‌شد و منحنی ملایم‌تری داشتیم.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی نمودار این فرآیند آدیاباتیک را با یک فرآیند هم‌دما (ایزوترم) که در آن دما ثابت می‌ماند و منحنی $PV=\text{ثابت}$ را دنبال می‌کند، مقایسه کنی. منحنی آدیاباتیک در هر نقطه شیب‌تری دارد.

راهنمایی کوتاه: برای رسم نمودار p-V این فرآیند، باید رابطه فشار-حجم در تراکم بی‌دررو را بدانیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) فرآیند بی‌دررو (آدیاباتیک) یعنی هیچ تبادل گرمایی با محیط ندارد. برای گاز ایده‌ال، رابطه فشار و حجم به صورت pV^γ = ثابت است که γ نسبت ظرفیت‌های گرمایی است (برای هوا حدود ۱.۴).
• ۲) شرایط اولیه: حجم اولیه V₁ = 250 لیتر (یا واحد حجم)، فشار p₁ = 1 اتمسفر، دمای T₁ = 25°C = 298K.
• ۳) حجم نهایی: V₂ = V₁/10 = 25 لیتر (تراکم تا یک‌دهم حجم اولیه).
• ۴) از رابطه بی‌دررو: p₁V₁^γ = p₂V_{2^γ → p2 = p1(V1/V2)^γ = 1 × (10)^1.4 ≈ 25.1 اتمسفر.}
• ۵) برای رسم نمودار p-V: محور افقی حجم (V) و محور عمودی فشار (p) است. منحنی از نقطه (V₁, p₁) = (250, 1) شروع می‌شود و به صورت یک منحنی سهمی‌وار (با توان γ) به نقطه (V₂, p₂) = (25, 25.1) می‌رسد.
• ۶) چون فرآیند تراکم است، حجم کاهش می‌یابد (پیکان جهت از راست به چپ). منحنی در نمودار p-V برای فرآیند بی‌دررو، از منحنی هم‌دما (ایزوترم) تندتر است.

پاسخ نهایی: نمودار p-V یک منحنی نزولی است که از نقطه (250, 1) شروع و به (25, 25.1) ختم می‌شود. شکل کلی آن مشابه منحنی pV^γ=ثابت است که با کاهش حجم، فشار به شدت افزایش می‌یابد.

مثال مشابه: اگر حجم اولیه 200 لیتر و فشار 2 اتمسفر باشد و تا 1/5 حجم اولیه به صورت بی‌دررو متراکم شود، فشار نهایی p₂ = 2 × (5)^1.4 ≈ 2 × 9.5 = 19 اتمسفر می‌شود.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی درباره تفاوت منحنی‌های بی‌دررو، هم‌دما و هم‌فشار در نمودار p-V تحقیق کنی یا با استفاده از نرم‌افزارهایی مانند GeoGebra منحنی را رسم کنی.