زمان سقوط جسم پرتاب شده به بالا

راهنمایی کوتاه: این مسئله حرکت پرتابی قائم به سمت بالا است که جسم ابتدا بالا می‌رود و سپس برمی‌گردد و به زمین می‌رسد.

گام‌به‌گام:

• ۱) معادله مکان در حرکت با شتاب ثابت را می‌نویسیم: $y=y_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$
• ۲) مقادیر را جایگذاری می‌کنیم: ارتفاع اولیه $y_0=15$ متر، سرعت اولیه $v_0=+5$ متر بر ثانیه (به سمت بالا مثبت)، شتاب گرانش $a=-10$ متر بر مجذور ثانیه (به سمت پایین منفی).
• ۳) می‌خواهیم زمانی را پیدا کنیم که جسم به زمین برسد، یعنی $y=0$. پس معادله می‌شود: $0=15+5t-5t^2$
• ۴) معادله را مرتب می‌کنیم: $5t^2-5t-15=0$ یا تقسیم بر ۵: $t^2-t-3=0$
• ۵) معادله درجه دوم را حل می‌کنیم: $t=\frac{1\pm \sqrt{1^2+12}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}$
• ۶) دو جواب داریم: $t\approx \frac{1-3.606}{2}=-1.303$ (رد می‌شود چون زمان منفی است) و $t\approx \frac{1+3.606}{2}=2.303$ ثانیه.

پاسخ نهایی: جسم پس از حدود $2.3$ ثانیه به سطح زمین می‌رسد.

مثال مشابه: اگر جسمی از ارتفاع ۲۰ متری با سرعت اولیه ۱۰ متر بر ثانیه به سمت بالا پرتاب شود، معادله مکان می‌شود $0=20+10t-5t^2$ که حل آن زمان سقوط را می‌دهد.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی نمودار مکان-زمان این حرکت را رسم کنی. ابتدا جسم تا نقطه اوج بالا می‌رود (سرعت صفر می‌شود) و سپس با شتاب گرانش به پایین سقوط می‌کند.

یادآوری ایمنی: در آزمایش‌های عملی پرتاب اجسام، حتماً از محیط امن و دور از افراد استفاده کن.

راهنمایی کوتاه: این یک مسئله پرتاب عمودی با سرعت اولیه به سمت بالا است. باید معادله حرکت را برای کل مسیر (بالا رفتن و پایین آمدن) بنویسیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) داده‌ها را مشخص می‌کنیم: ارتفاع اولیه h₀ = 15 متر، سرعت اولیه v₀ = +5 متر بر ثانیه (علامت مثبت چون به سمت بالا است)، شتاب گرانش g = -10 متر بر ثانیه² (علامت منفی چون به سمت پایین است).
• ۲) معادله مکان بر حسب زمان در حرکت با شتاب ثابت: y(t) = y₀ + v₀t + (1/2)at². در اینجا y(t) ارتفاع جسم در زمان t است.
• ۳) می‌خواهیم زمانی را پیدا کنیم که جسم به زمین می‌رسد، یعنی y(t) = 0. پس معادله می‌شود: 0 = 15 + 5t + (1/2)(-10)t².
• ۴) معادله را ساده می‌کنیم: 0 = 15 + 5t - 5t². طرفین را بر ۵ تقسیم می‌کنیم (با فرض t≠0): 0 = 3 + t - t² یا به ترتیب استاندارد: t² - t - 3 = 0.
• ۵) معادله درجه دوم را حل می‌کنیم: Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4(1)(-3) = 1 + 12 = 13. پس t = (1 ± √13)/2.
• ۶) دو جواب داریم: t ≈ (1 + 3.606)/2 ≈ 2.303 ثانیه و t ≈ (1 - 3.606)/2 ≈ -1.303 ثانیه. جواب منفی مربوط به زمان قبل از پرتاب است و فیزیکی نیست. پس جواب مثبت را می‌گیریم.

پاسخ نهایی: جسم پس از حدود ۲.۳ ثانیه (دقیق‌تر: (۱+√۱۳)/۲ ثانیه) به سطح زمین می‌رسد.

مثال مشابه: اگر جسمی از ارتفاع ۲۰ متری با سرعت اولیه ۱۰ متر بر ثانیه به سمت بالا پرتاب شود، معادله می‌شود: 0 = 20 + 10t - 5t² یا t² - 2t - 4 = 0. زمان سقوط حدود ۳.۲۴ ثانیه می‌شود.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی مسیر حرکت را به دو بخش تقسیم کنی: اول زمان اوج‌گیری و سرعت صفر شدن را حساب کنی، سپس زمان سقوط از آن ارتفاع تا زمین را. جمع این دو زمان باید همان جواب کلی را بدهد. این روش برای درک بهتر مفید است.