محاسبه چگالی خطی تار مرتعش

راهنمایی کوتاه: برای حل، ابتدا بسامد اصلی (هماهنگ اول) را از روی دنباله حسابی بسامدها پیدا کن، سپس از رابطه موج ایستاده روی تار دو سر ثابت استفاده کن.

گام‌به‌گام:

1. بسامدهای تشدیدی روی تار دو سر ثابت مضرب‌های صحیح بسامد اصلی هستند: $f_n=n{f}_1$. با توجه به دنباله داده شده ($f,240,f^{\prime },f^{″},600$) و حسابی بودن آن، اختلاف میان جمله‌ها برابر است.
2. دو جمله مشخص: ۲۴۰ و ۶۰۰. چهارمین اختلاف است: $600-240=360$ که برابر $3d$ است (چون بین آن‌ها سه پله است). پس $d=120$ هرتز. بسامد اصلی $f_1=f=240-120=120$ هرتز.
3. رابطه سرعت موج روی تار: $v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$ و رابطه بسامد اصلی: $f_1=\frac{v}{2L}$. با ترکیب: $f_1=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu }}$.
4. رابطه را بر حسب $\mu$ مرتب می‌کنیم: $\mu =\frac{T}{4L^2{f_1}^2}$.
5. مقادیر را جای‌گذاری می‌کنیم: $T=1440\text{N}$، $L=1\text{m}$، $f_1=120\text{Hz}$. پس $\mu =\frac{1440}{4\times 1^2\times {120}^2}=\frac{1440}{4\times 14400}=\frac{1440}{57600}=0.025\text{kg/m}$.

پاسخ نهایی: چگالی خطی تار برابر $0.025\text{kg/m}$ یا $25\text{g/m}$ است.

مثال مشابه: اگر طول تار ۲ متر و نیروی کشش ۱۲۰۰ نیوتن باشد و بسامد اصلی ۶۰ هرتز باشد، چگالی خطی چقدر است؟ $\mu =\frac{1200}{4\times 2^2\times {60}^2}=\frac{1200}{4\times 4\times 3600}=0.0208\text{kg/m}$.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: درباره‌ی رابطه سرعت موج روی تار و تأثیر کشش و چگالی بر بسامد مطالعه کن. همچنین می‌توانی نحوه استخراج رابطه بسامد اصلی را با استفاده از شرط مرزی تار دو سر ثابت بررسی کنی.