احتمال کشیدن مهره‌های قرمز و سبز

راهنمایی کوتاه: این مسئله درباره‌ی احتمال کشیدن مهره‌ها بدون جایگذاری است.

گام‌به‌گام:

1. ابتدا کل حالت‌های ممکن را پیدا می‌کنیم. از ۱۲ مهره، ۲ مهره را بدون جایگذاری انتخاب می‌کنیم. تعداد کل حالت‌ها برابر است با: $C(12,2)=\frac{12\times 11}{2}=66$
2. برای قسمت الف (هر دو مهره قرمز): از ۵ مهره قرمز، ۲ مهره را انتخاب می‌کنیم. تعداد حالت‌های مطلوب: $C(5,2)=\frac{5\times 4}{2}=10$. پس احتمال: $\frac{10}{66}=\frac{5}{33}$
3. برای قسمت ب (مهره دوم قرمز): این احتمال را می‌توان به دو حالت تقسیم کرد: ۱) مهره اول قرمز و دوم قرمز. ۲) مهره اول سبز و دوم قرمز.
   • حالت اول: احتمال قرمز بودن مهره اول: $\frac{5}{12}$. سپس با توجه به اینکه یک مهره قرمز کم شده، احتمال قرمز بودن مهره دوم: $\frac{4}{11}$. احتمال این حالت: $\frac{5}{12}\times \frac{4}{11}=\frac{20}{132}$
   • حالت دوم: احتمال سبز بودن مهره اول: $\frac{7}{12}$. سپس با توجه به اینکه تعداد مهره‌های قرمز تغییر نکرده، احتمال قرمز بودن مهره دوم: $\frac{5}{11}$. احتمال این حالت: $\frac{7}{12}\times \frac{5}{11}=\frac{35}{132}$
   • احتمال کل برای قسمت ب: جمع دو حالت: $\frac{20}{132}+\frac{35}{132}=\frac{55}{132}=\frac{5}{12}$
4. برای قسمت ج (هر دو مهره سبز): از ۷ مهره سبز، ۲ مهره را انتخاب می‌کنیم. تعداد حالت‌های مطلوب: $C(7,2)=\frac{7\times 6}{2}=21$. پس احتمال: $\frac{21}{66}=\frac{7}{22}$

پاسخ نهایی:

• الف) احتمال هر دو مهره قرمز: $\frac{5}{33}$
• ب) احتمال مهره دوم قرمز: $\frac{5}{12}$
• ج) احتمال هر دو مهره سبز: $\frac{7}{22}$

مثال مشابه: اگر ظرفی حاوی ۸ مهره آبی و ۴ مهره زرد باشد و دو مهره بدون جایگذاری بیرون بیاوریم، احتمال اینکه هر دو آبی باشند چقدر است؟ (پاسخ: $\frac{C(8,2)}{C(12,2)}=\frac{28}{66}=\frac{14}{33}$)

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی مسئله را با جایگذاری هم حل کنی و نتایج را مقایسه کنی. همچنین می‌توانی احتمال وقوع سایر ترکیب‌ها (مثلاً یک قرمز و یک سبز) را محاسبه کنی.