بررسی صعودی بودن تابع رادیکال در دامنه
تابع رادیکال ایکس یا همان $\sqrt{x}$ در دامنهاش (یعنی $[0,\infty)$) بررسی میشود. برای اینکه ببینیم این تابع اکیداً صعودی است یا نه، باید ببینیم آیا برای هر دو نقطه $x_1$ و $x_2$ در دامنهاش، اگر $x_1 < x_2$ باشد، آنگاه $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$ است یا نه.
فرض کنیم $x_1$ و $x_2$ دو عدد غیرمنفی هستند و $x_1 < x_2$. در این صورت، $x_2 - x_1 > 0$ است. میدانیم که $\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1} = \frac{x_2 - x_1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}}$ و چون $x_2 - x_1 > 0$ و $\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1} > 0$ (چون حداقل یکی از $x_1$ یا $x_2$ بزرگتر از صفر است)، پس $\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1} > 0$ یا به عبارت دیگر $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$.
پس تابع رادیکال ایکس در دامنهاش اکیداً صعودی است و جمله داده شده درست است.
