سلام! سوال جالبی مطرح کردی. میخواهیم ببینیم برای چند عدد طبیعی n، حاصلضرب n در (n+1) یک عدد اول میشود.
راهنمایی کوتاه: عدد اول فقط بر ۱ و خودش بخشپذیر است.
گامبهگام:
- ۱) عدد اول چیست؟ عددی طبیعی بزرگتر از ۱ که فقط بر ۱ و خودش بخشپذیر باشد (مثل ۲، ۳، ۵، ۷، ...).
- ۲) عبارت n(n+1) را بررسی میکنیم: این عبارت حاصلضرب دو عدد متوالی است (مثلاً اگر n=2 باشد، ۲×۳=6).
- ۳) آیا دو عدد متوالی میتوانند هر دو بزرگتر از ۱ باشند؟ بله (مثلاً ۲ و ۳).
- ۴) اگر هر دو عدد بزرگتر از ۱ باشند، حاصلضرب آنها حداقل دو مقسومعلیه غیر از ۱ و خودش دارد (n و n+1).
- ۵) تنها حالت ممکن برای اول بودن حاصلضرب این است که یکی از دو عامل برابر ۱ باشد تا حاصلضرب فقط دو مقسومعلیه داشته باشد.
- ۶) بررسی میکنیم: اگر n=1 باشد، ۱×(۲)=2 که عدد اول است. اگر n+1=1 باشد، یعنی n=0 که طبیعی نیست (اعداد طبیعی از ۱ شروع میشوند).
پاسخ نهایی: فقط برای n=1 عبارت n(n+1) اول میشود (عدد ۲). بنابراین فقط یک عدد طبیعی وجود دارد.
مثال مشابه: برای n=3: ۳×۴=12 که اول نیست (بر ۲، ۳، ۴، ۶ بخشپذیر است).
اگر میخواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن برای n=2، n=4 و n=5 هم بررسی کنی و ببینی چرا حاصلضرب اول نیست.
