بررسی تساوی رادیکال‌ها

نهم ریاضی نهم

نشان دهید$\sqrt{4+2\sqrt3}=1+\sqrt3$

طاها جوادی نسب

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

سلام! سوال خوبی پرسیدی. می‌خواهیم بررسی کنیم که آیا $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}$ واقعاً برابر با $1 + \sqrt{3}$ است یا نه.

راهنمایی کوتاه: برای اثبات این تساوی، دو طرف را به توان دو می‌رسانیم.

گام‌به‌گام:

گام ۱: فرض می‌کنیم تساوی درست است: $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} = 1 + \sqrt{3}$
گام ۲: دو طرف تساوی را به توان دو می‌رسانیم (چون اگر دو عدد مثبت برابر باشند، مربع آنها هم برابر است):
${(\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}})}^{2} = {(1 + \sqrt{3})}^{2}$
گام ۳: سمت چپ را ساده می‌کنیم. رادیکال با توان دو حذف می‌شود:
$4 + 2 \sqrt{3}$
گام ۴: سمت راست را با استفاده از اتحاد مربع دو جمله‌ای محاسبه می‌کنیم:
${(1 + \sqrt{3})}^{2} = 1^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2}$
$= 1 + 2 \sqrt{3} + 3$
$= 4 + 2 \sqrt{3}$
گام ۵: دو طرف را مقایسه می‌کنیم:
سمت چپ: $4 + 2 \sqrt{3}$
سمت راست: $4 + 2 \sqrt{3}$
هر دو طرف دقیقاً برابر شدند.
گام ۶: از آنجایی که هر دو طرف مثبت هستند و مربع آنها برابر شد، پس خود آنها نیز برابر هستند.

پاسخ نهایی: بله، تساوی درست است. $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} = 1 + \sqrt{3}$

مثال مشابه: می‌توانی بررسی کنی که آیا $\sqrt{9 + 4 \sqrt{5}}$ برابر با $2 + \sqrt{5}$ است؟ (پاسخ: بله!)

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: این روش «مربع کردن دو طرف» یک تکنیک مهم برای ساده کردن معادلات رادیکالی است. می‌توانی تمرین کنی که عبارت‌های مشابه را به شکل $a + b \sqrt{c}$ بنویسی.