آزمون آنلاین هندسه 3 - فصل سوم : بردارها | آزمون شماره 1206

دو بردار \[\vec a = - 2i + j - k\] و \[\vec b = i + mj + 2k\] را در نظر بگیرید. اگر بدانیم دو قطر متوازی‌الاضلاعی که با این دو بردار ساخته می‌شوند، بر هم عمود هستند، مقدار مثبت m کدام است؟

نقاط $A(1\,,\,2\,,\, - 1)$ و $B(2\,,\,1\,,\,1)$ و $C\,(0\,,\,1\,,\, - 1)$ رئوس متوازی‌الاضلاع ABCD هستند. مساحت مثلث BCD کدام است؟

سه نقطۀ $A = (1\,,\,0\,,\, - 1)$، $B = (m\,,\, - \sqrt 6 \,,\, - 1)$ و $C = (2\,,\,\sqrt 3 \,,\,1)$ مفروضند. اگر $\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = - 2\sqrt 6 \,\vec i + 2\sqrt 2 \,\vec j$، زاویۀ بین دو بردار $\overrightarrow {AB} $ و $\overrightarrow {AC} $ کدام است؟

اگر $|\vec a|=۲$ و $|\vec b|=\sqrt۳$ و زاویه بین آنها برابر $\frac{\pi }{۶}$ باشد، اندازه بردار $\left( \overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{a}-\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{b} \right)\times \left( \overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{a}+\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{b} \right)$ کدام است؟

نقاط $A\left( ۱,۰,۱ \right)$، $B\left( -۱,۲,۰ \right)$ و $C\left( ۵,۰,۴ \right)$ رئوس یک مثلث‌اند. کسینوس زاویه ی حاده  بین نیمساز داخلی $\hat{A}$ و ضلع $BC$ کدام است؟