مجموع فاصله‌های نقطه از رئوس مثلث متساوی‌الاضلاع

دهم هندسه 1

اثبات در هر مثلث متساوی الاضلاعی مجموع فاصله های یک نقطا از سه راس با ارتفاع برابر است

user-3F2177D

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

راهنمایی کوتاه: این قضیه را می‌توان با استفاده از مساحت مثلث‌های کوچکتر اثبات کرد.

گام‌به‌گام:

فرض کنید مثلث متساوی‌الاضلاع ABC با ارتفاع h داریم. نقطه P در داخل مثلث (یا روی اضلاع) قرار دارد.
فاصله‌های نقطه P از رئوس A، B و C را به ترتیب d₁، d₂ و d₃ بنامید.
مثلث ABC را با وصل کردن P به رئوس به سه مثلث کوچکتر تقسیم کنید: PAB، PBC و PCA.
مساحت مثلث ABC برابر است با مجموع مساحت‌های این سه مثلث کوچکتر. اگر طول ضلع مثلث را a در نظر بگیریم:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} = \frac{1}{2} a \cdot d_{1} + \frac{1}{2} a \cdot d_{2} + \frac{1}{2} a \cdot d_{3}$
از طرفین a/2 فاکتور بگیرید:
$\frac{\sqrt{3}}{2} a = d_{1} + d_{2} + d_{3}$
ارتفاع مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع a برابر است با:
$h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$
پس داریم: d₁ + d₂ + d₃ = h

پاسخ نهایی: در هر مثلث متساوی‌الاضلاع، مجموع فاصله‌های هر نقطه درون مثلث (یا روی اضلاع) از سه رأس، دقیقاً برابر با ارتفاع مثلث است.

مثال مشابه: اگر ارتفاع مثلث متساوی‌الاضلاعی ۶ سانتی‌متر باشد، برای هر نقطه درون آن، مجموع فاصله‌ها از رئوس همیشه ۶ خواهد بود.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: این قضیه فقط برای مثلث متساوی‌الاضلاع برقرار است. می‌توانی با رسم شکل و اندازه‌گیری فاصله‌ها در چند نقطه مختلف، درستی آن را آزمایش کنی.