چيدمان گوي ها روي دايره با شرايط خاص

صورت مسئله

ما می‌خواهیم بدانیم به چند طریق مختلف می‌توان سه گوی قرمز، سه گوی آبی و سه گوی سبز را روی یک دایره چنان قرار داد که فاصله آن‌ها مساوی باشد و گوی‌های هم‌رنگ کنار هم نباشند.

حل مسئله

برای حل این مسئله، ابتدا به بررسی شرایط مسئله می‌پردازیم. ما ۹ گوی داریم که باید به طور مساوی روی یک دایره قرار گیرند. این به این معنی است که گوی‌ها باید به فاصله‌های مساوی از هم قرار بگیرند.

اولین گوی را می‌توان در هر جای دایره قرار داد. بعد از قرار دادن اولین گوی، فاصله بین گوی‌ها مشخص می‌شود.

ما سه رنگ داریم: قرمز، آبی و سبز. برای جلوگیری از قرارگیری گوی‌های هم‌رنگ کنار هم، باید گوی‌ها را به ترتیب رنگ‌ها به صورت متناوب قرار دهیم.

تعداد کل حالات چیدمان ۹ گوی روی دایره بدون در نظر گرفتن محدودیت هم‌رنگی، برابر با !(۹-۱) است. اما چون گوی‌های هم‌رنگ با هم مشابه هستند، باید بر !(۳!)۳ تقسیم کنیم.

حال، برای اطمینان از اینکه گوی‌های هم‌رنگ کنار هم نباشند، باید چینش‌ها را به صورت متناوب رنگی بررسی کنیم. مثلاً اگر با قرمز شروع کنیم، ترتیب می‌تواند به صورت قرمز، آبی، سبز، قرمز، آبی، سبز، قرمز، آبی، سبز باشد.

برای شروع با یک رنگ خاص (مثلاً قرمز)، !(۳-۱) حالت برای چیدمان گوی‌های قرمز وجود دارد. سپس، گوی‌های آبی و سبز باید در بین آن‌ها قرار گیرند.

با توجه به شرط متناوب بودن رنگ‌ها، تعداد کل چینش‌های مجاز برابر است با !(۳) × !(۳) × !(۳) = ۶ × ۶ × ۶ = ۲۱۶. اما باید توجه کنیم که این شامل حالتی است که دایره را می‌چرخانیم. پس تعداد حالات قابل تشخیص برای ما !(۳-۱) = ۲ است.

بنابراین، جواب نهایی برابر است با: ۲

یادآوری ایمنی: در انجام فعالیت‌های علمی و ریاضی، دقت و تمرکز خود را حفظ کنید.