مقدار k برای پایین بودن سهمی

سلام! خوشحالم که این سوال رو پرسیدی. این یک مسئله جالب از ریاضی ۱ درباره سهمی‌هاست. بیا با هم حلش کنیم.

راهنمایی کوتاه: برای اینکه سهمی همیشه زیر محور x‌ها باشد، باید دو شرط داشته باشیم: ۱) ضریب x² منفی باشد (سهمی رو به پایین) ۲) ممیز منفی باشد (سهمی محور x را قطع نکند).

گام‌به‌گام:

• ۱) ابتدا معادله سهمی را می‌نویسیم: $A=m{x}^2-mx-1$
• ۲) برای اینکه سهمی همیشه زیر محور x‌ها باشد، باید رو به پایین باشد. یعنی ضریب x² (که m است) باید منفی باشد: $m<0$
• ۳) همچنین سهمی نباید محور x را قطع کند. یعنی معادله $m{x}^2-mx-1=0$ نباید ریشه حقیقی داشته باشد.
• ۴) ممیز این معادله را حساب می‌کنیم: $\Delta =b^2-4ac={(-m)}^2-4\left(m\right)(-1)=m^2+4m$
• ۵) برای نداشتن ریشه حقیقی، ممیز باید منفی باشد: $m^2+4m<0$
• ۶) این نامعادله را حل می‌کنیم: $m(m+4)<0$ → $-4<m<0$
• ۷) هر دو شرط را با هم بررسی می‌کنیم: از گام ۲ داشتیم $m<0$ و از گام ۶ داشتیم $-4<m<0$. اشتراک این دو بازه می‌شود: $-4<m<0$

پاسخ نهایی: برای اینکه سهمی $A=m{x}^2-mx-1$ همیشه زیر محور x‌ها باشد، باید $-4<m<0$ باشد.

مثال مشابه:

• مثبت: اگر m = -1 (که در بازه $-4<m<0$ است)، سهمی $A=-x^2+x-1$ همیشه زیر محور x است.
• منفی: اگر m = -5 (که خارج از بازه است)، سهمی $A=-5x^2+5x-1$ بخشی از آن بالای محور x است.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی تمرین کنی که برای چه مقادیری از m سهمی همیشه بالای محور x باشد. یا سهمی‌های دیگری با ضرایب مختلف بررسی کنی.