احتمال مهره سفید از ظرف دوم

راهنمایی کوتاه: این مسئله با قانون احتمال کل حل می‌شود. چون مهره‌ای که از ظرف اول به دوم منتقل می‌شود مشخص نیست، باید همه حالت‌ها را در نظر بگیریم.

گام‌به‌گام:

۱) ابتدا تعداد مهره‌های هر ظرف را می‌نویسیم. ظرف اول: ۵ سفید، ۴ سیاه، ۲ سبز (مجموع ۱۱). ظرف دوم: ۳ سفید، ۲ سیاه، ۱ سبز (مجموع ۶).

۲) مهره‌ای که از ظرف اول برمی‌داریم می‌تواند سفید، سیاه یا سبز باشد. احتمال هر کدام را حساب می‌کنیم:

• احتمال سفید: $\frac{5}{11}$
• احتمال سیاه: $\frac{4}{11}$
• احتمال سبز: $\frac{2}{11}$

۳) حالا اگر مهره سفید به ظرف دوم اضافه شود، ظرف دوم دارای ۴ سفید، ۲ سیاه، ۱ سبز (مجموع ۷) می‌شود. احتمال سفید گرفتن از ظرف دوم در این حالت $\frac{4}{7}$ است.

اگر مهره سیاه اضافه شود: ظرف دوم ۳ سفید، ۳ سیاه، ۱ سبز (۷ تا). احتمال سفید $\frac{3}{7}$.

اگر مهره سبز اضافه شود: ظرف دوم ۳ سفید، ۲ سیاه، ۲ سبز (۷ تا). احتمال سفید $\frac{3}{7}$.

۴) حالا قانون احتمال کل را به کار می‌بریم: احتمال نهایی = (احتمال انتقال سفید × احتمال سفید در حالت سفید) + (احتمال انتقال سیاه × احتمال سفید در حالت سیاه) + (احتمال انتقال سبز × احتمال سفید در حالت سبز).

محاسبه: $\frac{5}{11}\times \frac{4}{7}+\frac{4}{11}\times \frac{3}{7}+\frac{2}{11}\times \frac{3}{7}$

پاسخ نهایی: $\frac{38}{77}$

مثال مشابه: فرض کنید دو کیسه دارید. کیسه اول ۲ توپ قرمز و ۳ آبی، کیسه دوم ۴ قرمز و ۱ آبی. یک توپ از کیسه اول به دوم می‌اندازید و سپس از کیسه دوم یک توپ برمی‌دارید. احتمال اینکه توپ قرمز باشد چقدر است؟ (پاسخ: $\frac{2}{5}\times \frac{5}{6}+\frac{3}{5}\times \frac{4}{6}=\frac{22}{30}=\frac{11}{15}$)

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی درباره قانون احتمال کل و درخت احتمال مطالعه کنی. این مسئله نمونه‌ای از مسائل انتقال است.