احتمال متناسب با عدد روی تاس

سلام! سوال جالبی پرسیدی درباره‌ی تاسی که احتمال آمدن هر عدد با خود آن عدد متناسب است. بیا با هم حلش کنیم.

راهنمایی کوتاه: از نسبت‌های احتمال و مجموع احتمالات برابر با ۱ استفاده کن.

گام‌به‌گام:

• ۱) فرض کن احتمال آمدن عدد ۱ برابر با $k$ است. چون احتمال با عدد متناسب است، پس:
  احتمال عدد ۲ = $2k$
  احتمال عدد ۳ = $3k$
  احتمال عدد ۴ = $4k$
  احتمال عدد ۵ = $5k$
  احتمال عدد ۶ = $6k$
• ۲) طبق صورت سوال، احتمال آمدن ۶ دو برابر احتمال آمدن ۳ است:
  $6k=2\times 3k$
  این معادله همیشه برقرار است (چون $6k=6k$)، پس اطلاعات جدیدی نمی‌دهد.
• ۳) مجموع احتمالات باید برابر ۱ باشد:
  $k+2k+3k+4k+5k+6k=1$
• ۴) معادله را حل می‌کنیم:
  $21k=1$
  $k=\frac{1}{21}$
• ۵) حالا احتمال هر عدد را محاسبه می‌کنیم:
  عدد ۱: $\frac{1}{21}$
  عدد ۲: $\frac{2}{21}$
  عدد ۳: $\frac{3}{21}=\frac{1}{7}$
  عدد ۴: $\frac{4}{21}$
  عدد ۵: $\frac{5}{21}$
  عدد ۶: $\frac{6}{21}=\frac{2}{7}$

پاسخ نهایی: احتمال‌ها به ترتیب اعداد ۱ تا ۶ برابر است با: $\frac{1}{21},\frac{2}{21},\frac{1}{7},\frac{4}{21},\frac{5}{21},\frac{2}{7}$

مثال مشابه: اگر تاسی داشته باشیم که احتمال آمدن هر عدد با مربع آن عدد متناسب باشد (یعنی احتمال عدد n برابر با kn²) و مجموع احتمالات برابر ۱ باشد، می‌توانیم k را پیدا کنیم و سپس هر احتمال را حساب کنیم.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی درباره‌ی «توزیع‌های احتمال گسسته» و «متغیرهای تصادفی» مطالعه کنی. همچنین می‌توانی سوالات مشابه با شرایط مختلف (مثل احتمال متناسب با جذر عدد یا معکوس عدد) را تمرین کنی.