اشتراک بر اجتماع در مجموعه‌ها

راهنمایی کوتاه: برای حل این مسئله، از اطلاعات داده‌شده برای نوشتن رابطه‌های ریاضی استفاده می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) فرض می‌کنیم A و B دو مجموعه هستند. اشتراک آن‌ها را با A∩B و اجتماع آن‌ها را با A∪B نشان می‌دهیم.
• ۲) طبق صورت مسئله: A = 2B (یعنی تعداد اعضای مجموعه A دو برابر تعداد اعضای مجموعه B است).
• ۳) همچنین: A = 3(A∩B) (یعنی تعداد اعضای A سه برابر تعداد اعضای اشتراک A و B است).
• ۴) از رابطه A = 3(A∩B) نتیجه می‌گیریم: (A∩B) = A/3.
• ۵) از رابطه A = 2B نتیجه می‌گیریم: B = A/2.
• ۶) حالا از فرمول اصلی اجتماع استفاده می‌کنیم: A∪B = A + B - (A∩B).
• ۷) مقادیر را جایگزین می‌کنیم: A∪B = A + (A/2) - (A/3).
• ۸) مخرج مشترک می‌گیریم (۶): A∪B = (6A/6) + (3A/6) - (2A/6) = (7A/6).
• ۹) حالا نسبت اشتراک به اجتماع را محاسبه می‌کنیم: (A∩B) / (A∪B) = (A/3) / (7A/6).
• ۱۰) Aها ساده می‌شوند: (۱/۳) × (۶/۷) = ۶/۲۱ = ۲/۷.

پاسخ نهایی: نسبت اشتراک به اجتماع برابر است با $\frac{2}{7}$.

مثال مشابه: اگر مجموعه‌ای داشته باشیم که تعداد اعضای آن ۴ برابر مجموعه دیگر و ۵ برابر اشتراکشان باشد، باز هم می‌توان با همین روش نسبت را پیدا کرد.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی تمرین کنی که اگر A = kB و A = m(A∩B) باشد، نسبت (A∩B)/(A∪B) را برحسب k و m پیدا کنی. پاسخ کلی می‌شود: $\frac{1}{k+1-\frac{1}{m}}$.