برای اثبات این گزاره، باید دو جهت را بررسی کنیم: اول، اگر $A\subseteq B$ باشد، آنگاه $A\cup B=B$؛ دوم، اگر $A\cup B=B$ باشد، آنگاه $A\subseteq B$.
گامبهگام:
- فرض کنیم $A\subseteq B$. در این صورت، هر عضوی از $A$ در $B$ نیز وجود دارد. پس $A\cup B$ شامل همه عناصر $B$ است و چون $A$ زیرمجموعه $B$ است، عناصر اضافیای ندارد. بنابراین $A\cup B=B$.
- حالا فرض کنیم $A\cup B=B$. میخواهیم نشان دهیم $A\subseteq B$. هر عضو $A$ در $A\cup B$ وجود دارد و چون $A\cup B=B$، پس هر عضو $A$ در $B$ نیز هست. بنابراین $A\subseteq B$.
پاسخ نهایی: با اثبات دو جهت، گزاره $A\subseteq B\;\Longleftrightarrow\;A\cup B=B$ اثبات شد.
مثال مشابه: بررسی گزارههای مشابه مانند $A\cap B = A \Longleftrightarrow A\subseteq B$.
