برای اثبات گزاره $A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B$، باید دو جهت را بررسی کنیم.
گامبهگام:
- ابتدا فرض کنیم $A\subseteq B$. در این صورت، هر عضوی از $A$ در $B$ نیز وجود دارد. بنابراین، $A\cup B$ شامل همه عناصر $B$ و عناصر اضافی از $A$ نیست، زیرا عناصر $A$ قبلاً در $B$ هستند. پس $A\cup B = B$.
- حالا فرض کنیم $A\cup B = B$. این بدان معنی است که هر عنصری که در $A$ یا $B$ باشد، در $B$ وجود دارد. بنابراین، هر عنصری که در $A$ باشد، حتماً در $B$ نیز هست، که نشان میدهد $A\subseteq B$.
پاسخ نهایی: با اثبات دو جهت، گزاره $A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B$ اثبات شد.
مثال مشابه: میتوانید گزارههای مشابه مانند $A\cap B = A \Leftrightarrow A\subseteq B$ را بررسی کنید.
اگر میخواهی بیشتر یاد بگیری: میتوانی به کتب ریاضی مربوط به نظریه مجموعهها مراجعه کنی.
