برای اثبات این رابطه، باید دو جهت را بررسی کنیم: اول، اینکه اگر $A\subseteq B$ باشد، آنگاه $A\cup B=B$ است؛ و دوم، اینکه اگر $A\cup B=B$ باشد، آنگاه $A\subseteq B$ است.
گامبهگام:
- ۱) فرض کنیم $A\subseteq B$. در این صورت، هر عضوی از $A$ در $B$ نیز وجود دارد. پس اجتماع $A$ و $B$ برابر با $B$ است زیرا همه عناصر $A$ قبلاً در $B$ هستند.
- ۲) حالا فرض کنیم $A\cup B=B$. این بدان معنی است که هر عنصری که در $A$ یا $B$ (یا هر دو) وجود دارد، در $B$ است. پس هر عنصری که در $A$ است، حتماً در $B$ نیز هست.
- ۳) بنابراین، اگر $A\subseteq B$، آنگاه هر عنصر $A$ در $B$ است و $A\cup B=B$.
- ۴) و اگر $A\cup B=B$، آنگاه هر عنصر $A$ در $B$ است، پس $A\subseteq B$.
پاسخ نهایی: با اثبات دو جهت، نشان دادیم که $A\subseteq B\;\Longleftrightarrow\;A\cup B=B$.
مثال مشابه: میتوانید این رابطه را برای مجموعههای $A = \{1, 2\}$ و $B = \{1, 2, 3\}$ بررسی کنید.
اگر میخواهی بیشتر یاد بگیری: میتوانی به مطالعه روابط بین مجموعهها و خواص آنها در کتابهای جبر و احتمال بپردازی.
